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>a.
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[
1 23][0] [lx0 + 2x2+3x3] [13]
DZ= 321
2 = 3x0 + 2x2+1x3 = 7
2 1 3
3
2x0 + 1 x2+3x3
11
[
13 9 14]
D
2
= 11 11 14
11 9 16
MIM Soit (a, b, c) E R 3 , tel que a
2 + b
2 + c
2
= J.
On pose:
[
1 + a
2
ab
M = ab 1 + b
2
ac
be
ac l
be
1 + c
2
et N = M - l3.
11.a) On vérifie facilement que N peut s'écrire comme produit d'une matrice colonne et d'une
matrice ligne :
N=[flx(abc)
11.b) Calculons, pour tout entier naturel non nul n, N
11
:
11.c)
330
soit, par associativité du produit matriciel :
Le produit dans le crochet vaut a
2 + b
2 + c 2 = 1, on obtient ainsi :
N' = ( ~ l X [ ( l ) l X ( a b c ) = [ ~ l X ( a b c ) = N
On montre, à l' aide d'une récurrence immédiate, que l'on a, pour tout entier naturel non
nul, N
11
= N.
Déterminons, pour tout entier naturel non nul, M" : on a :
M
2 = (N + !3)
2 = N
2 + 2N + h = 3 N + / 3