"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
·~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
-
-------? -----+
-----? -----+
On a: QM' = QM , (QM, QM') = () [2n]. La relation (QM, QM') =()entraîne:
arg (zn,;;r) = (i,AA) + (Q;;,;M' ) [2 n]
= arg (z 00 ) + ()
[2n]
Comme:
Z--> = l z__,I /arg(z0M1) = lz~ I ei arg(z!W)+iO = lz~ I eiarg(z!W) /9
nw
nw
nM
nM
alors: ZQMl = z 00
ei
8 , soit: z' - zn = (z - zn) ei 8 , et donc :
z' = zn + (z - zn) ei
6
La relation est encore vraie lorsque M coïncide avec Q.
9.b) Soit z" l' affixe du point M", image du point M d' affixe z, distinct de Q' , par la rotation
rœ, 9' , de centre Q' , d' angle ()' (on désigne par zn· l'affixe de Q').
De même que précédemment, on montre que : z" = Zn· + (z - zn,) ei 8 ' . La relation est
encore vraie lorsque M coïncide avec Q'.
9.c) Soit z"' l'affixe du point M'", image du point M d'affixe z E C par la composée r =
TQ.'. fJ' 0 rn.9·
On a donc: z"' = zœ + (z' - zn·) eî 9' = zn· + (zn + (z - zn) ei
8 - Zn·) ei fl', soit :
?'" = z , + (-' - z ·) e.i9' = 7 , (1 - ei 8 ') + 7 e;(f + (z - z ) ei(fl+9')
..
.n
<.n
-.n
•. n
. .n
Par suite:
• si () + ()' .;. 2 n Z, la composée r des deux rotations est une rotation d'angle()+()', dont
le centre Q"' est tel que son atfixe zn,,, vérifie :
zn,,, + (z - zn,,, ) ei((:)+O') = zœ ( 1 - eiO') +Zn ei(f + (z - zn) ei(O+O')
soit : zn,,, - z11"' ei(B+O') = zn· (1 - ei 8 ') + zn e;e· - zn eï< 0 +9'>, soit :
zn,,, ( 1 - ei(O+fl')) = zn• ( 1 - e; 8 ') + zn eiO' - zn ei(fl+O')
Comme ()+()' fi. 2n Z, Je point Q"' existe et est unique.
• si () + ()' E 2 71' Z :
z"' =Zn• (1 - e; 0 ') + zn e;o' + (z - zn) = z + (zn· - zn) (1 - e; 0 ')
r est alors la translation de vecteur il, d'affixe
. (f
z,1 = (zn· - zn) (1 - e' )
Mul Pour que l'on puisse calculer le produit Matrice 1 x Matrice 2 , il faut
Nombre de colonnes (Matrice 1 ) = Nombre de lignes (Matrice 2 ).
Les produits possibles sont donc, ici :
A X = u n ( _ \) = ( ~: ! : ~: ~ = ~n = ( -11 )
sx = ( ~1 ~) ( ~1 ) = ( ~\\1++1\xc~~~)) = ( = n
A B = ( 1 2 ) ( - l 1 ) = ( 1 X (- 1) + 2 X Û 1 X l + 2 X l ) = (-1 3 )
21
0 1
2x(- l)+lx02xl + lxl
-2 3
A 2 =(l 2)( 12) = (' xi + 2x2lx2 + 2x1) · = (54)
2 1 2 1
lxl + lx2lx 1+ 2x2
45
B2 = ( - 1 1 ) ( - 1 1 ) = ( - 1 X ( - 1 ) + 1 X Ü - 1 X 1 + 1 X 1 ) = ( 1 Ü )
0 1
0 1
Ox(- l)+lxO Oxl + lxl
01
BA=( -l l)(l 2)=( - lxl+lx2 - lx2 + 1xl)=(l -l )
0 1 21
Oxl + lx2 Ox2+1xl
2 1
329
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
·~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
-
-------? -----+
-----? -----+
On a: QM' = QM , (QM, QM') = () [2n]. La relation (QM, QM') =()entraîne:
arg (zn,;;r) = (i,AA) + (Q;;,;M' ) [2 n]
= arg (z 00 ) + ()
[2n]
Comme:
Z--> = l z__,I /arg(z0M1) = lz~ I ei arg(z!W)+iO = lz~ I eiarg(z!W) /9
nw
nw
nM
nM
alors: ZQMl = z 00
ei
8 , soit: z' - zn = (z - zn) ei 8 , et donc :
z' = zn + (z - zn) ei
6
La relation est encore vraie lorsque M coïncide avec Q.
9.b) Soit z" l' affixe du point M", image du point M d' affixe z, distinct de Q' , par la rotation
rœ, 9' , de centre Q' , d' angle ()' (on désigne par zn· l'affixe de Q').
De même que précédemment, on montre que : z" = Zn· + (z - zn,) ei 8 ' . La relation est
encore vraie lorsque M coïncide avec Q'.
9.c) Soit z"' l'affixe du point M'", image du point M d'affixe z E C par la composée r =
TQ.'. fJ' 0 rn.9·
On a donc: z"' = zœ + (z' - zn·) eî 9' = zn· + (zn + (z - zn) ei
8 - Zn·) ei fl', soit :
?'" = z , + (-' - z ·) e.i9' = 7 , (1 - ei 8 ') + 7 e;(f + (z - z ) ei(fl+9')
..
.n
<.n
-.n
•. n
. .n
Par suite:
• si () + ()' .;. 2 n Z, la composée r des deux rotations est une rotation d'angle()+()', dont
le centre Q"' est tel que son atfixe zn,,, vérifie :
zn,,, + (z - zn,,, ) ei((:)+O') = zœ ( 1 - eiO') +Zn ei(f + (z - zn) ei(O+O')
soit : zn,,, - z11"' ei(B+O') = zn· (1 - ei 8 ') + zn e;e· - zn eï< 0 +9'>, soit :
zn,,, ( 1 - ei(O+fl')) = zn• ( 1 - e; 8 ') + zn eiO' - zn ei(fl+O')
Comme ()+()' fi. 2n Z, Je point Q"' existe et est unique.
• si () + ()' E 2 71' Z :
z"' =Zn• (1 - e; 0 ') + zn e;o' + (z - zn) = z + (zn· - zn) (1 - e; 0 ')
r est alors la translation de vecteur il, d'affixe
. (f
z,1 = (zn· - zn) (1 - e' )
Mul Pour que l'on puisse calculer le produit Matrice 1 x Matrice 2 , il faut
Nombre de colonnes (Matrice 1 ) = Nombre de lignes (Matrice 2 ).
Les produits possibles sont donc, ici :
A X = u n ( _ \) = ( ~: ! : ~: ~ = ~n = ( -11 )
sx = ( ~1 ~) ( ~1 ) = ( ~\\1++1\xc~~~)) = ( = n
A B = ( 1 2 ) ( - l 1 ) = ( 1 X (- 1) + 2 X Û 1 X l + 2 X l ) = (-1 3 )
21
0 1
2x(- l)+lx02xl + lxl
-2 3
A 2 =(l 2)( 12) = (' xi + 2x2lx2 + 2x1) · = (54)
2 1 2 1
lxl + lx2lx 1+ 2x2
45
B2 = ( - 1 1 ) ( - 1 1 ) = ( - 1 X ( - 1 ) + 1 X Ü - 1 X 1 + 1 X 1 ) = ( 1 Ü )
0 1
0 1
Ox(- l)+lxO Oxl + lxl
01
BA=( -l l)(l 2)=( - lxl+lx2 - lx2 + 1xl)=(l -l )
0 1 21
Oxl + lx2 Ox2+1xl
2 1
329
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(