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Comment définir une fonction?
Dès que l'on connaît quelques fonctions, on peut en construire de (nombreuses) autres
en utilisant les procédés suivants :
1. Les opérations algébriques
Si f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle l,
• la fonction somme f + g est définie, pour tout réel x de l'intervalle/, par:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
• la fonction produit f g est définie, pour tout réel x de l' interva.lle l, par:
(f g)(x) = f(x) g(x)
• Lorsque la fonction g ne s'annule pas sur l'intervalle / , la fonction quotient [_ est
g
définie, pour tout réel x de l' intervalle l , par:
(
[_) (x) = f(x)
g
g(x)
2. La composition
Soit f une fonction définie sur un intervalle Ide R, et g une fonction définie un intervalle
J c R contenant f(/). La fonction « composée » des fonctions f et g est la fonction , que
l'on écrit go f, définie, pour tout réel x de l'intervalle/, par :
(go f) (x) = g (f(x))
Exemple
La fonction obtenue en composant la fonction f qui, à tout réel x, associe x
2 avec la fonctio n g
qui, à tout réel x, associe x + 1 est définie, pour tout réel x, par : (go f) (x) = x 2 + 1.
3. La restriction
Soit f une fonction définie sur l'intervalle Ide R, et Io c R un intervalle contenu dans/.
On appelle restriction de f à lo, que l'on note fl1 0 , la fonction définie sur lo par:
V x E lo : fl1 0 (x) = f(x)
Cela signifie que les fonctions f et fl1 0 prennent la même valeur en chaque point de
l'intervalle J , mais la fonction f l1 0 n'est définie que sur cet intervaJJe alors que la fonction
f est aussi défin ie aux points de I qui ne sont pas dans Io.
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