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On parle souvent, dans la fütérature mathématique, de la« construction de l'ensemble des réels». Qu'en est-il?
À l'origine, seuls les nombres entiers et rationnels étaient connus des mathématiciens, même si des irrationnels comme .../2, longueur de la diagonale d'un carré de
côté 1, sont vite apparus comme des nombres« à part», difficilement quantifiables.
La coupure par un rationnel
La démonstration formelle de l'existence - ou construction - d'un ensemble de
nombres contenant à la fois les entiers, les rationnels, et les non-ra6onnels, fut mise
en œuvre pour la première fois au XIXe siècle par le mathématicien allemand Richard
Dedekind (183 1-1916).
Elle est basée sur l'axiome de la borne supérieure, selon lequel toute partie non
vide et majorée de l'ensemble IR des réels possède une borne supérieure.
Richard Dedekind est, tout simplement, par6 du fait que tout nombre rationnel
!!.., (p, q) E Z x Z*, découpe Q, ensemble des nombres rationnels, eu deux parties,
q
constituées respectivement par les rationnels strictement plus petits que !!.. , et par les
q
.
1
, .
,
' p
rauonne s supeneurs ou egaux a - .
q
La coupure par un irrationnel
En étendant ce principe à un découpage par un « irrationnel » comme .../2, on découpe, de façon analogue, 1 'ensemble des rationnels en deux parties, constituées respectivement par les rationnels néga6fs, ou dont le carré est strictement plus petit que
2, et par les rationnels positifs dont le carré est supérieur ou égal à 2.
Y2
1
1
1
11 11 1
- 2
- 1
0
Figure 7 .4- Une« coupure».
Ainsi, Y2 apparaît comme la « coupure » entre ces deux ensembles, c'est-à-dire
le nombre« non rationnel» qui se trouve« entre les deux».
Une autre construction assez populaire de l'ensemble des nombres réels peut être
obtenue par l'intermédiaire de suites de Cauchy.
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