5.a)
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326
Comme() E IR \ rr Z : e; 9 * 1. La suite (e;" 9 ) est donc une suite géométrique de raison
11EN
différente de 1.
Il
s 1 < e) =
I ei k (J
k=O
1 - é(n+ l )(J
=
1 - ei 9
infl (
i(n+J )IÎ
_ i(11+ l )9 )
eT e 2 - e 2
=
=
e ;~n (2isin(< 11 +
2
1
) 8 ))
2i sin (Ü
S
. ( (n+ 1) (J )
w m 2
= e i
sin(Ü
Comme() E R \ rr Z : e; 2 o ::f. 1. La suite (e 2 i 11 0 )
est donc une suite géométrique de
11EN
raison différente de 1.
S2(8) =
=
=
Il
I e 2 ik 8
k= -n
1 _ e2 i (2 n+1) 8
e-2 in 9 _ _ _ _ _
l - e2 i 8
e - i (211+ 1)8 _ ei(211+ 1) 0
e - 2in 9 ei(2n + l )9 - - - - - - - -
ei9 (e-ifJ - ei9)
ei (211+1)9 _ e - i (2 11+l )fJ
= e-i(2 11+ l ) B ei(211+1 )9 _ _ _ _ _ _ _ _
eiO _ e-i 9
=
=
2 i si n ((2 n + 1) e)
2 i sin()
sin ((2 n + 1) ())
si n e
En remarquant que S 2 ( ()) = S 1 (2 ()) + S 1 ( - 2 ()) - 1, il est également possible d'obtenir le
résultat plus rapidement !
"
sin ( <11+!) 8)
S 3 (()) = I cos(k ()) = 1 () )
. ( ~) - 1
k= l
sm 2
"
s· ( (11+ l) O)
~
(ne) m - 2 -
S 4(0) = 6 sin(kB)=Im(S1(B) - l)=Im(S1(B))=si n 2
. (~)
k= I
srn 2