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+ ,M D'après la formule de Moivre: cos(3 8) ='Re (e 3 ; 8 ). Or:
e
3 ;o = (e;
0 )
3
= (cosO + i sin 0)
3 = cos
3 0 + 3 i cos
2 8 sin 0 + 3 cos O(i sin 8)
2 + (i sin 0)
3
soit: e 3 iO = cos
3 e + 3 i cos
2 ()sine - 3 cos() sin
2 e - i sin
3 8.
En identifiant parties réelles et parties imaginaires, on en déduit:
cos(3 8) =
'Re ( e3; o)
=
cos
3 8- 3 cos8 sin
2 8
= cos 3 8 - 3 cos 8 ( 1 - cos 2 8)
=
4 cos 3 () - 3 cos ()
sin(38)=
Im(e 3 i 8 )
= 3 cos
2 0 sin 0 - sin
3
e
= 3 (1 - sin
2 0) sin() - sin
3 0
=
- 4 sin
3
e + 3 sine
Par suite: cos 3 8 = ~ cos(3 8) + ~ cos 8.
D 'après ce qui précède : sin
3 () = -~ sin(3 ()) + i sin 0, et:
cos
4 () =
(cos
2 0)
2
=
( 1 + c~s(W) )
2
l + 2 cos(20) + cos
2 (20)
=
4
=
1 + 2 cos(20)
l
2 20)
4
+ 4 cos (
1 + 2 cos(20) l 1 + cos( 4 B)
=
+4
4
2
1 + 2 cos(20) 1 + cos( 4 fJ)
=
4
+
8
3 + 4 cos(W) + cos( 4 8)
=
8
MW On rappel le la form ule donnant la somme des termes d ' une suite géométrique de
raison ":t 1 :
l - raison'wmbredetermes
premier terme x - - - - - - - -
1 - raison
Soit() E Ill \ rr Z , et n E N* .
325
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