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3.b) Comme z * 1, on peut diviser membre à membre par (z - 1) 211 :
(
·
1 ) 2n
~.
= e
2 ikfr
k E Z
z - ]
'
'
z+
1 est donc une racine complexe 2 nième de l'unité :
z-1
z + 1 2a..
ih
'71
- - = e 2.. = e "
k E tt...
z -1
'
Le cas k = 0 est à exclure, il conduirait à: ~~: = 1, puis z + 1 = z - 1, ce qui est impossible.
Les solutions sont donc telles que:
z+ l
ili
- - =e " ,k E{l ... ,2n - J}
z - 1
iklr
Pour k E { 1 ... , 2 n - 1}, on a donc : z + 1 = e-;;- (z - 1).
Pour k E {l ... , 2n - l}, on peut écrire: z (1 - e'~~ ) = - 1 - e;~~, puis, comme
k1r * 0 [2rr] :
"
z = - - - =
=
211
= - i cotan .....!!..
1 + e;:,T
e
1
i: (e -~~: + e'i:) 2 cos ( ~)
(k )
e;~.· - 1 e;i: (e ;i: - e- ;i: ) 2i sin(;~)
2n
(On a utilisé la technique classique qui consiste à factoriser par e -~:
6 , ce qui permet, ensuite, de simplifier, et de faire apparaître le sinus et le cosinus de ;: .)
Par injectivité de la fonction cotangente sur )0, rr[, les 2n - 1 racines obtenues sont bien
distinctes.
3.c) Notons II le produit des racines non nulles ; il est donné par :
324
11
- I
(krr) 2n- I
(krr)
II =
o-icotan 2 n kOi -i cotan 2 n
= ( - 1)2
11
- 2 j2n2
fi cotan(~:) n cotan(~:)
k=I
k=n+I
n-I
(krr)
211
-
1
(krr)
= ( -1 y1- l D cotan 2n kOI cotan 2n
11- I
( k ) n- 1
( ( k
) )
= ( - 1 )'
1
n cotan .....!!.. n cotan + n 7r
k=I
2n k=I
2n
11-I COS (ktr) 11-l COS ((k+11)n)
=
(- 1)'1-I n 2n n 2n
k=I sin ( ~: ) k=I sin ((k;:?1T )
=
=
=
=
(-1)11- J
11- I COS ( k1T ) 11- I COS (klr + !!)
n
2n n 2n 2
, · (k1T)
. (k1T
1T )
k=I Sin 2n
k=I Sin 2n + 2
n
11-l cos(~) n /l -1. - sin( ~)
. (kJr )
(kJr )
k=I srn 211 k=I cos 211
(- 1)11- I ( - J)"- 1
ÎÎ cos ( ~) _ si _
· n_(_~_:_ )
k=I sin( ~:) cos(~:)