"O
0
c::
::J
0
v
..-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
Soit E un R - espace vectoriel, et f
une application linéaire de E telle que :
f
2
- 5 f + 6 idE = Ü
Montrer que Ker (f - 2 idE) et Ker (f - 3 idE)
sont des sous-espaces supplémentaires de E.
Projecteurs
On se place dans l ' espace vectoriel
JR.i [X] des polynômes à coefficients réels, de
degré inférieur ou égal à 4. On considère
l'application rr qui, à tout polynôme P =
4
I œk Xk associe :
k=O
2
On pose : r = p + q - p o q.
Montrer que r est un projecteur de E , puis déterminer son image et son noyau.
Soient E et F deux Ill-espaces vectoriels, f une application linéaire de E dans F,
et g une application linéaire de F dans E.
On suppose que:
Jogof=J ' gofog=g
54.a) Vérifier que f o g et go f sont deux
projecteurs, en précisant leurs espaces
respectifs de départ.
I O:k x k
54.b) Montrer que:
k=O
Montrer que rr est un projecteur de Ri [X],
E = Ker(f) ffi fm(g)
puis déterminer son image et son noyau.
Soit E un Hl- espace vectoriel, et pet
q deux projecteurs de E tels que :
Imp c Kerq
322
et :
F = Ker(g) ffi lm(f)