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41.a) Déterminer les valeurs propres de A.
41 .b) Déterminer les sous-espaces propres
de A . A est-elle diagonalisable?
41.c) Déterminer la matrice de passage PA à
une base de diagonalisation, ainsi que
son inverse.
41.d) Donner une matrice diagonale DA
semblable à A.
41.e) Calculer, pour tout entier naturel non
nul n,A
11
•
Soient a et b deux réels non nuls. On
considère la matrice carrée d ' ordre n (n > 2):
b a ... ... a
a b
A=
b a
a ...... a b
Déterminer les valeurs propres de A, puis ses
espaces propres, et montrer que A est diagonalisable.
Soit œ un réel non nul. On considère
la matrice :
[
-1 œ -œ i
M = 1 -.1 0
1 0 - ]
43.a) Déterminer le polynôme caracté1istique de M.
43.b) Déterminer les espaces propres de M .
43.c) M est-elle trigonalisable? Si oui, la trigonaliser.
Pour aller plus loin : Réduction de
matrices blocs
Soit n un entier supé1ieur ou égal à 2.
Soit A une matrice de taille n x n, à coefficients réels. On demande d 'étudier la diagonalisabili té de la matrice triangulaire supérieure par blocs de taille 2 n x 2 n:
B=(~~)
Espaces vectoriels
Sous-espaces vectoriels
On se place dans l'espace R 3 . Montrer que l 'ensemble 1) des vecteurs de composantes (x, y, z) tels que :
{
2x - y+z=0
x+y - z = 0
est un sous-espace vectoriel de R 3 .
On se place dans l' espace vectoriel R[X] des polynômes à coefficients réels.
Montrer que l'ensemble R3 [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, à coefficients réels, est un sous-espace vectoriel
de lll[X].
On se place dans l'espace vectoriel
C ([0, l], R.) des fonctions continues sur l'intervalle [0, 1), à valeurs dans R Montrer que
l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle [0, 1 l , à valeurs dans JR, s'annulant en
0 , est un sous-espace vectoriel de C [0, 1], R.).
On se place dans l' espace vectoriel
C ([0, l], R.) des fonctions continues sur l'intervalle [0, l], à valeurs dans R Montrer
que l' ensemble C
1 [0, Il, R ) des fonctions
de classe C
1 sur l'intervalle [0, l], à valeurs dans JR, est un sous-espace vectoriel de
C([O, l], R).
On se place dans l'espace vectoriel C ([- 1, l ], !R) des fonctions continues sur
l'intervalle [ - 1, l ], à valeurs dans R Montrer
que les ensembles :
c+ = If E C([- 1, l] , !R), /paire} ,
c- = {f E C ([- 1, l], lll), /impaire!
sont deux sous-espaces supplémentaires de
C([- 1, l], R.) .
Soit n un entier naturel supérieur ou
égal à 2. On se place dans l' espace vectoriel
M 11 (1R) des matrices de taille n x n, à coeffi -
cients réels. Montrer que J' ensemble des matrices de taille n x n, à coefficients réels, de
trace nulle, est un sous-espace vectoriel de
M n(R).
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41 .b) Déterminer les sous-espaces propres
de A . A est-elle diagonalisable?
41.c) Déterminer la matrice de passage PA à
une base de diagonalisation, ainsi que
son inverse.
41.d) Donner une matrice diagonale DA
semblable à A.
41.e) Calculer, pour tout entier naturel non
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Soient a et b deux réels non nuls. On
considère la matrice carrée d ' ordre n (n > 2):
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espaces propres, et montrer que A est diagonalisable.
Soit œ un réel non nul. On considère
la matrice :
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43.a) Déterminer le polynôme caracté1istique de M.
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43.c) M est-elle trigonalisable? Si oui, la trigonaliser.
Pour aller plus loin : Réduction de
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Soit n un entier supé1ieur ou égal à 2.
Soit A une matrice de taille n x n, à coefficients réels. On demande d 'étudier la diagonalisabili té de la matrice triangulaire supérieure par blocs de taille 2 n x 2 n:
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On se place dans l'espace R 3 . Montrer que l 'ensemble 1) des vecteurs de composantes (x, y, z) tels que :
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est un sous-espace vectoriel de R 3 .
On se place dans l' espace vectoriel R[X] des polynômes à coefficients réels.
Montrer que l'ensemble R3 [X] des polynômes de degré inférieur ou égal à 3, à coefficients réels, est un sous-espace vectoriel
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On se place dans l'espace vectoriel
C ([0, l], R.) des fonctions continues sur l'intervalle [0, 1), à valeurs dans R Montrer que
l'ensemble des fonctions continues sur l'intervalle [0, 1 l , à valeurs dans JR, s'annulant en
0 , est un sous-espace vectoriel de C [0, 1], R.).
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C ([0, l], R.) des fonctions continues sur l'intervalle [0, l], à valeurs dans R Montrer
que l' ensemble C
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1 sur l'intervalle [0, l], à valeurs dans JR, est un sous-espace vectoriel de
C([O, l], R).
On se place dans l'espace vectoriel C ([- 1, l ], !R) des fonctions continues sur
l'intervalle [ - 1, l ], à valeurs dans R Montrer
que les ensembles :
c+ = If E C([- 1, l] , !R), /paire} ,
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sont deux sous-espaces supplémentaires de
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Soit n un entier naturel supérieur ou
égal à 2. On se place dans l' espace vectoriel
M 11 (1R) des matrices de taille n x n, à coeffi -
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