"O
0
c::
::J
0
v
..-!
0
N
@
~
..c::
Ol
ï::::
>a.
0
u
34.b) Expliciter l'application composée lf!ocp
de deux façons différentes (on donnera, notamment, la matrice A .po.p associée à lf! o cp dans la base canonique).
Que remarque-t-on?
L'espace !Rn
Dans ce qui suit, n est un entier supérieur ou
égal à 2.
Applications linéaires
On considère l'application linéaire f
dont la matrice dans la base canonique de R.
11
est:
0
0
0 1
1 ...... 1 0
35.a) Montrer que f est un automorphisme
de Ill".
35.b) On désigne par IdIR" l' application
identité de R.
11 • Montrer, de deux façons différentes, que f + ldR" n'est pas
un automorphisme de R.".
35.c) Donner une base du noyau de f - (n -
1) ldlR" .
Soit Montrer l'équivalence suivante:
Ker <.p = Ker cp
2
~ JR" = Ker Soient f et g deux applications linéaires de Ill" telles que:
f o g = 0 et f + g injective
Comparer Img et Ker f .
Soit f une application linéaire de R.
11
nilpotente d ' ordre n, c'est-à-dire telle que
j'1 = Û et f
11
- I -::/= Û
(la puissance est au sens de la composition)
Comparer Img et Ker f.
320
38.a) Montrer qu'il existe une base 13 de R.
11
dans laquelle la matrice A!B(f) de f est
triangulaire.
38.b) Que vaut det (f + IdRn )?
38.c) Soit g une application linéaire de
JR
11
commutant avec f : que vaut
det (f + g)?
Réduction des matrices carrées
On considère la matrice
39.a) Détermi ner les valeurs propres de M 1 .
39.b) Déterminer les sous-espaces propres
de M1. Mi est-elle diagonalisable?
39.c) Déterminer la matrice de passage P 1 à
une base de diagonalisation, ai nsi que
son inverse.
39.d) Donner une matrice diagonale D 1
semblable à M1 . Que peut-on en déduire pour l'inversibilité de M 1 ?
39.e) Calculer, pour tout entier naturel non
nul n, M~
1 •
On considère la matrice
40.a) Détermi ner les valeurs propres de M 2 .
40.b) Déterminer les sous-espaces propres
de M1. M1 est-elle diagonalisable?
40.c) Détermi ner la matrice de passage P2 à
une base de d iagonalisation, ainsi que
son inverse.
40.d) Donner une matrice diagonale D2
semblable à M 2 . Que peut-on en déduire pour l'inversibilité de M 2 ?
40.e) Calculer, pour tout entier naturel non
nul n, M~ .
On considère la matrice:
(
3 - 1 - 1 i
A= - 1 3 - 1
- - 1 3
0
c::
::J
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v
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0
N
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~
..c::
Ol
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34.b) Expliciter l'application composée lf!ocp
de deux façons différentes (on donnera, notamment, la matrice A .po.p associée à lf! o cp dans la base canonique).
Que remarque-t-on?
L'espace !Rn
Dans ce qui suit, n est un entier supérieur ou
égal à 2.
Applications linéaires
On considère l'application linéaire f
dont la matrice dans la base canonique de R.
11
est:
0
0
0 1
1 ...... 1 0
35.a) Montrer que f est un automorphisme
de Ill".
35.b) On désigne par IdIR" l' application
identité de R.
11 • Montrer, de deux façons différentes, que f + ldR" n'est pas
un automorphisme de R.".
35.c) Donner une base du noyau de f - (n -
1) ldlR" .
Soit Montrer l'équivalence suivante:
Ker <.p = Ker cp
2
~ JR" = Ker Soient f et g deux applications linéaires de Ill" telles que:
f o g = 0 et f + g injective
Comparer Img et Ker f .
Soit f une application linéaire de R.
11
nilpotente d ' ordre n, c'est-à-dire telle que
j'1 = Û et f
11
- I -::/= Û
(la puissance est au sens de la composition)
Comparer Img et Ker f.
320
38.a) Montrer qu'il existe une base 13 de R.
11
dans laquelle la matrice A!B(f) de f est
triangulaire.
38.b) Que vaut det (f + IdRn )?
38.c) Soit g une application linéaire de
JR
11
commutant avec f : que vaut
det (f + g)?
Réduction des matrices carrées
On considère la matrice
39.a) Détermi ner les valeurs propres de M 1 .
39.b) Déterminer les sous-espaces propres
de M1. Mi est-elle diagonalisable?
39.c) Déterminer la matrice de passage P 1 à
une base de diagonalisation, ai nsi que
son inverse.
39.d) Donner une matrice diagonale D 1
semblable à M1 . Que peut-on en déduire pour l'inversibilité de M 1 ?
39.e) Calculer, pour tout entier naturel non
nul n, M~
1 •
On considère la matrice
40.a) Détermi ner les valeurs propres de M 2 .
40.b) Déterminer les sous-espaces propres
de M1. M1 est-elle diagonalisable?
40.c) Détermi ner la matrice de passage P2 à
une base de d iagonalisation, ainsi que
son inverse.
40.d) Donner une matrice diagonale D2
semblable à M 2 . Que peut-on en déduire pour l'inversibilité de M 2 ?
40.e) Calculer, pour tout entier naturel non
nul n, M~ .
On considère la matrice:
(
3 - 1 - 1 i
A= - 1 3 - 1
- - 1 3