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Aires et volumes
Déterminants et calculs d'aires
Dans ce qui suit, le plan euclidien orienté de
dimension 2 est rapporté à un repère orthonormé direct ( 0; 1, 'j).
Aire d'un paraléllogramme
28.a) Soient
a , , a2, a3, a4, b1, b2, b3, b4
des réels non nuls, vérifiant :
On considère les points A 1 (a1, b1 ),
A2(a2, b2), A3(a3, b3), A4(a4, b4) :
à quelle condition le quadrilatère
A1A2A3A4 est-il un parallélogramme
non aplati?
28.b) Lorsque ces conditions sont vérifiées,
calculer l'aire orientée, puis non orientée, du parallélogramme A 1 A2A3A4.
----7
28.c) On suppose désormais que llA1A2ll =
----7
llA 1A4ll =a> 0, b1 = b2, a4 = a1. Que
remarque-t-on ?
Aire d'un triangle
Soient a, b, c, d des réels non nuls. Calculer
l'aire orientée, puis non orientée, du triangle
de sommets 0 , A(a, b), B(c, d).
Déterminants et calculs de volumes
Dans ce qui suit, l'espace euclidien orienté
de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé direct ( O; 7, j, k).
Soient a, b, c, d des réels non nuls.
30.a) On considère les points A(l, a
2 , a 4 ),
B(2,a
2 + c
2 ,a
4 + c
4 ), C(I,c
2 ,c
4 ),
D( 1, d 2 , d
4 ) : quelle est la nature du
quadrilatère OABC ?
30.b) On considère les points E, F, G,
images respectives de A, B, C par la
~
translation de vecteur OD : quelle est
la natmedeOABCDEFG ?
30.c) Calculer le volume orienté, puis le volume non orienté, de OABCDEFG.
Transformations linéaires
du plan
Linéarité - ou non ?
Parmi les applications suivantes, lesquelles
sont linéaires? Donner, lorsque c 'est possible, la mat1ice de l'application.
31.a) f : R
2 - R
2 , (x,y) H (4x + y,2y+x);
31.b) g : R 3 - R , (x, y) H sin(x y);
Applications linéaires et matrices
On considère l'application linéaire:
J: R2 ----+
R2
(x,y) H (3x - y,2y + x)
32.a) Quelle est la matrice A f associée à f
dans la base canonique ?
32.b) Calculer detAf, et en conclure que f
est un automorphisme de R 2 , c'est-àdire une application linéaire bijective
de R
2 dans R
2 .
32.c) Déterminer le noyau de f, et retrouver
ainsi le résultat du i.
32.d) Expliciter l'application réciproque
r' .
Transformations linéaires
de l'espace
Linéarité - ou non ?
Parmi les applications suivantes, lesquelles
sont linéaires? Donner, lorsque c'est possible, la mahice de l'application.
33.a) f : R 2 - R 2 , (x,y) H (4x+y, 2 y +x);
33.b) g : R 3 - R, (x, y, z) H cos(x y z);
33.c) h: R
3 - R
3 ,
(x, y, z) H (x + y + z, x - y+ z, 0);
Applications linéaires et matrices
On considère les applications :
JR3
(x,y) H (3x - y,2y + x,x - y)
t/t : JR3 -
&,.2
(x, y, z) H (x + z, y - z)
34.a) Quelles sont les matrices A

base canonique?
319
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