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• Montrer que l'on peut exprimer A
2
en fonction de A et!,,, où !,, désigne
la matrice identité d'ordre n.
• Pour quelles valeurs de a la matrice
A est-elle inversible? Déterminer,
dans ce cas, sa matrice inverse A - i . .
On considère les matrices :
17.a) Montrer que Pest inversible, et calculer son inverse.
17.b) Que vaut p - t M P?
17.c) Montrer que, pour tout entier naturel
non nul n:
(P- 1 M P)" = p -i M" P
et en déduire une méthode de calcul
deM
11
•
Systèmes linéaires
Résolution d'un système de taille
3x3
Résoudre:
{
x - y - z=4
2x + 2y + z = - 5
3x - y - z = 6
Un système paramétré, une solution à discuter !
Soit a un réel non nul. Résoudre :
{
x + a y + a
2 z = a
4
x+y + z = 1
x - y + z = - 1
L'espace réel à 3 dimensions
Vecteurs
Déterminer si les vecteurs suivants
sont linéairement indépendants ou non :
20.a) û = (1, 2, 3) et Û= (- 1, 3, 2):
20.b) Û= (2, 1,3),Ü= (4,2,6).
20.c) i1 = (3, 2, 1), ü = (3, 0, 1).
20.d) û = (2, 4, 6), Û= (4, 2, 6), ID= (6, 4, 2).
20.e) û = (- 1,0, 1), û = (1, 1, 1), w =
Droites et plans
Droites
Déterminer une représentation paramétrique,
puis un système d'équations cartésiennes, de
la droite 1) passant par le point A(- 1, 2, 1 ), et
dirigée par le vecteur û = ( 1, 0, 1 ).
De quel type de droite s'agit-il, affine ou vectorielle?
Déterminer une représentation paramétrique, puis un système d'équations cartésien nes, de la droite 1)' passant par le point
B(3, 0, 2), et orthogonale au plan 'P d'équation 2x + y - z = 3.
On considère la droite !J.' dont une représentation paramétrique est donnée par :
{
x=1 + 2À
y= 3A
, /l ER
z = 2 - 2;i
Donner un vecteur directeur de cette droite.
Plans
On considère le plan vectoriel 'P 4
dont une représentation paramétrique est
donnée par:
, (À,µ) E R.
2
(0, 1, 2).
Donner deux vecteurs engendrant 'P 4 .
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