"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Déterminants de matrices de taille nxn
Un calcul pratique
Calculer le déterminant n. x n. suivant :
0
1 0
1 ... 1 0
n étant un entier naturel supérieur ou
égal à 2, soient a et b deux réels distincts,
non nuls, et (x 1 , ••• , x 11 ) une famille de réels.
Pour tout réel x, on pose :
X1 + X a + X
a + X
b +X X2 +X
Ll11(X) =
b+x
a + x
b +X X 11 +X
14.a) Montrer que la fonction x H ~ 11 (x)
est une fonction affine de x, c'est-àdire de la forme x H œ x + {3, où
(œ,{3) e R. 2 (on ne cherchera pas à déterminer a et f3 dans cette question).
14.b) Que valent il 11 (- a) et il 11 (- b)? En déduire les valeurs des coefficients a etf3
introduits à la question précédente.
Un déterminant remarquable :
le Déterminant de Vandermonde 1
Soit (x 1 , ••• , x 11 ) une famille de réels, et
x E R
On considère les déterminants :
et Vri(X)
=
1
l
xi
X2 · · · X11- l
')
Xj
')
X2
2
· · · x11-l
11-I x_i- 1
x''-'
X1
2
. . . 11- I
1
J
1
x''- 1
1
x_1- l
2
Xn
2
x,,
11-I
... Xn
V,,(xi, ... , x, 1 _,, x)
1
X
x2
x't-1
=
15.a) Montrer que V,. 1 (x) est un polynôme de
degré inférieur ou égal à n. - 1 en x.
15.b) On suppose, dans toute la suite, que les
-
-
tincts. M_?ntrer que V11(X1) = V 11 (x2) =
. . . = V11(X11- 1), et en déduire qu'il
existe une constante réelle C 11 telle
que, pour tout réel x :
V 11 (x) = C 11 (x - x1) ... (x - x, 1 - 1)
11- l
=cil n
15.c) Déterminer la constante C 11 , et en déduire l'expression de V 11 (x 1 , •.• , x,,).
15.d) Que peut-on dire en ce qui concerne le
cas où les x;, i = 1, ... , n , ne sont pas
deux à deux distincts ?
Inversion des matrices carrées
Inversibilité et puissances nièmes
16.a) Après avois vérifié leur inversibilité,
inverser les matrices suivantes :
16.b)
(
o i ol
B = 1 0 0
0 0 l
(
1 2-1]
C= 1 0 1.
2 1 2
n étant un entier naturel non nul, soit
A e M,,(R) telle que A 2 = A, avec
A ::/= ! 11 • A est-elle inversible?
16.c) Soit a un réel quelconque, supposé
non nul. On considère la matrice carrée d'ordren (n ~ 2):
A=
0 a ...... a
a 0
0 a
a ...... a 0
1. Alexandre-Théophile Vandermonde (1 735-1796), mathématicien français, mais aussi économiste, musicien et chimiste. D'après Lebesgue (Conférence d'Utrecht, 1937, [23)), le déten11inant ne serait pas de
lui ...
317
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Déterminants de matrices de taille nxn
Un calcul pratique
Calculer le déterminant n. x n. suivant :
0
1 0
1 ... 1 0
n étant un entier naturel supérieur ou
égal à 2, soient a et b deux réels distincts,
non nuls, et (x 1 , ••• , x 11 ) une famille de réels.
Pour tout réel x, on pose :
X1 + X a + X
a + X
b +X X2 +X
Ll11(X) =
b+x
a + x
b +X X 11 +X
14.a) Montrer que la fonction x H ~ 11 (x)
est une fonction affine de x, c'est-àdire de la forme x H œ x + {3, où
(œ,{3) e R. 2 (on ne cherchera pas à déterminer a et f3 dans cette question).
14.b) Que valent il 11 (- a) et il 11 (- b)? En déduire les valeurs des coefficients a etf3
introduits à la question précédente.
Un déterminant remarquable :
le Déterminant de Vandermonde 1
Soit (x 1 , ••• , x 11 ) une famille de réels, et
x E R
On considère les déterminants :
et Vri(X)
=
1
l
xi
X2 · · · X11- l
')
Xj
')
X2
2
· · · x11-l
11-I x_i- 1
x''-'
X1
2
. . . 11- I
1
J
1
x''- 1
1
x_1- l
2
Xn
2
x,,
11-I
... Xn
V,,(xi, ... , x, 1 _,, x)
1
X
x2
x't-1
=
15.a) Montrer que V,. 1 (x) est un polynôme de
degré inférieur ou égal à n. - 1 en x.
15.b) On suppose, dans toute la suite, que les
-
-
tincts. M_?ntrer que V11(X1) = V 11 (x2) =
. . . = V11(X11- 1), et en déduire qu'il
existe une constante réelle C 11 telle
que, pour tout réel x :
V 11 (x) = C 11 (x - x1) ... (x - x, 1 - 1)
11- l
=cil n
15.c) Déterminer la constante C 11 , et en déduire l'expression de V 11 (x 1 , •.• , x,,).
15.d) Que peut-on dire en ce qui concerne le
cas où les x;, i = 1, ... , n , ne sont pas
deux à deux distincts ?
Inversion des matrices carrées
Inversibilité et puissances nièmes
16.a) Après avois vérifié leur inversibilité,
inverser les matrices suivantes :
16.b)
(
o i ol
B = 1 0 0
0 0 l
(
1 2-1]
C= 1 0 1.
2 1 2
n étant un entier naturel non nul, soit
A e M,,(R) telle que A 2 = A, avec
A ::/= ! 11 • A est-elle inversible?
16.c) Soit a un réel quelconque, supposé
non nul. On considère la matrice carrée d'ordren (n ~ 2):
A=
0 a ...... a
a 0
0 a
a ...... a 0
1. Alexandre-Théophile Vandermonde (1 735-1796), mathématicien français, mais aussi économiste, musicien et chimiste. D'après Lebesgue (Conférence d'Utrecht, 1937, [23)), le déten11inant ne serait pas de
lui ...
317
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(