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N
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Ol
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>a.
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8.b) Déterminer l'expression de l' affixe z'
du point M' image du point M d'affixe
z e C* par la rotation ro. ir, de centre 0,
d'angle 1r.
Un peu de formalisme ...
9.a) Donner l'expression de l'affixe z' du
point M' image du point M d'affixe
z e C par la rotation rn. o, de centre Q,
d'angle () (on désignera par zn l 'affixe
de Q) .
9.b) Donner l'expression de l'affixe z" du
point M" image du point M d'affixe
z E C par la rotation rn',(:J' , de centre
Q', d ' angle()' (on désignera par zn, l' affixe de Q').
9.c) Donner l'expression de l'affixe z"' du
point M'" image du point M d'affixe
z E C par la composée r = rœ. e· o rn.e
de rn,e et rœ,(:J' .
Et, de même, on détermine la composée de deux homothéties de centres
distincts, la composée d'une rotation
et d'une translation, ... : c'est à vous!
Introduction aux matrices
Calcul matriciel
Calculs pratiques
On considèreX = ( ~ I ) , Z = m
A=u n.
( -11)
[123]
B= 01 , D=;7~
Quels sont les produits matriciels possibles?
Les calculer.
Une matrice remarquable
Soit (a, b, c) E IR. 3 , tel que a
2 + b
2 + c
2
= 1.
On pose:
[
1 + a
2
ab
M = ab 1 + b
2
ac
be
ac l
be
et N = M - h
1 + c
2
316
11.a) Montrer que N peut s'écrire comme
produit d'une matrice colonne et d'une
matrice ligne.
11.b) Calculer N
11
, où n désigne un entier naturel.
ll.c) En déduire l'expression de M
11
•
Puissances nièmes d'une matrice
Soit a un réel quelconque, supposé non nul.
On considère la matrice carrée d ' ordre n
(n ;;i: 2):
0 a ...... a
a 0
A=
0 a
a ...... a 0
12.a) Montrer que l'on peut exprimer A
2 en
fonction de A et ! 11 , où ! 11 désigne la
matrice identité d'ordre n.
Pour aller plus loin :
12.b) On considère le polynôme P tel que:
P(X) = X
2 - (n - 2) a X - (n - 1) a
2
On note
P(A) = A
2 - (n - 2)aA - (n - l)a
2 l 11 •
Vérifier que P(A) = O.
12.c) Soit k un entier naturel non nul. Effectuer la division euclidienne de xk par
P, en montrant qu' elle conduit à un résultat de la forme :
xk = P( X) Q( X) + œ X + /3
où Q est un polynôme que l' on cherchera pas à expliciter, et œ et f3 deux
réels.
Comment peut-on calculer simplement œ etf3?
12.d) En remarquant que
Ak = P(A) Q(A)+œ A +,81 11 , en déduire
une méthode de calcul de A k.
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8.b) Déterminer l'expression de l' affixe z'
du point M' image du point M d'affixe
z e C* par la rotation ro. ir, de centre 0,
d'angle 1r.
Un peu de formalisme ...
9.a) Donner l'expression de l'affixe z' du
point M' image du point M d'affixe
z e C par la rotation rn. o, de centre Q,
d'angle () (on désignera par zn l 'affixe
de Q) .
9.b) Donner l'expression de l'affixe z" du
point M" image du point M d'affixe
z E C par la rotation rn',(:J' , de centre
Q', d ' angle()' (on désignera par zn, l' affixe de Q').
9.c) Donner l'expression de l'affixe z"' du
point M'" image du point M d'affixe
z E C par la composée r = rœ. e· o rn.e
de rn,e et rœ,(:J' .
Et, de même, on détermine la composée de deux homothéties de centres
distincts, la composée d'une rotation
et d'une translation, ... : c'est à vous!
Introduction aux matrices
Calcul matriciel
Calculs pratiques
On considèreX = ( ~ I ) , Z = m
A=u n.
( -11)
[123]
B= 01 , D=;7~
Quels sont les produits matriciels possibles?
Les calculer.
Une matrice remarquable
Soit (a, b, c) E IR. 3 , tel que a
2 + b
2 + c
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On pose:
[
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M = ab 1 + b
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1 + c
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11.a) Montrer que N peut s'écrire comme
produit d'une matrice colonne et d'une
matrice ligne.
11.b) Calculer N
11
, où n désigne un entier naturel.
ll.c) En déduire l'expression de M
11
•
Puissances nièmes d'une matrice
Soit a un réel quelconque, supposé non nul.
On considère la matrice carrée d ' ordre n
(n ;;i: 2):
0 a ...... a
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a ...... a 0
12.a) Montrer que l'on peut exprimer A
2 en
fonction de A et ! 11 , où ! 11 désigne la
matrice identité d'ordre n.
Pour aller plus loin :
12.b) On considère le polynôme P tel que:
P(X) = X
2 - (n - 2) a X - (n - 1) a
2
On note
P(A) = A
2 - (n - 2)aA - (n - l)a
2 l 11 •
Vérifier que P(A) = O.
12.c) Soit k un entier naturel non nul. Effectuer la division euclidienne de xk par
P, en montrant qu' elle conduit à un résultat de la forme :
xk = P( X) Q( X) + œ X + /3
où Q est un polynôme que l' on cherchera pas à expliciter, et œ et f3 deux
réels.
Comment peut-on calculer simplement œ etf3?
12.d) En remarquant que
Ak = P(A) Q(A)+œ A +,81 11 , en déduire
une méthode de calcul de A k.