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Exercices
Pour s'entraÎner
(solutions p. 323)
Le plan complexe
Racines niemes
Résoudre, dans C : z
4
= 1.
Résoudre, dans C : z 5 = I .
On considère l'équation:
(z + l )2" = (z - 1)211
où n est un entier naturel non nul.
3.a) Montrer que l' on ne peut pas avoir z =
1.
3.b) Montrer que l'équation donnée admet
exactement 2 n - 1 racines, que l'on désignera par W1, ... , w2,,- 1, et qui sont
telles que:
pour k E { 1, ... , 2 n - 1 } :
( br)
Wk = - icotan 2
n
3.c) Pour aller plus loin :
que vaut le produi t des racines non
nulles?
Trigonométrie
Linéarisation
Calculs de sommes
Soit fJ E R \ rr Z, et n E N *. Donner, en fonc -
tion de e, la valeur des sommes suivantes :
11
5.a) S 1(0) = I e ik O.
k=O
Il
5.b) S 2(B) = I e 2ikB .
k=- 11
Il
5.b) S 3 (0) = _L cos(kfJ) et
k=I
Il
s 4(8) = I sin(k e).
k= I
Donner ensuite les relations entre S 1 (8),
S 2(B), 53(8), S4(8).
Transformations du plan
Translations, homothéties
Le plan euclidien orienté est rapporté à un repère orthonormé direct ( 0; 7, n.
Expression analytique d'une translation
Donner l'expression de l'affixe z' du point M'
image du point M d'affixe z E C par:
6.a) la translation Ta de vecteur Ü(l, - 2) ;
6.b) la translation T i! de vecteur ü'(3, 1).
Expression analytique d'une homothétie
Donner l' expression de l'affixe z' du point M'
image du point M d'affixe z, E 7.a) l' homothétie h 0 . 2 , de centre 0, de rapport 2 ;
7.b) l'homothétie hA.- 3, de centre A(l , 1), de
rapport - 3;
7.c) l'homothétie hB.4, de centre B( - 2, 0), de
rapport 4.
Rotations
Expression analytique d'une rotation
8.a) Déterminer l'expression de l'affixe z'
du point M' image du point M d'affixe
z E 7r
rA , ~ ,de centre A(l, l ), d'angle 4.
315
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