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2. Propriétés
:>- Caractérisation des projecteurs
Théorème
Soient E un espace vectoriel, et p une transformation linéaire de E.
Alors, p est un projecteur de E si et seulement si :
po P = P
On dit alors que p est idempotent.
Théorème
Soient E un espace vectoriel, et p un projecteur de E. Alors:
E = Ker p$Imp
Démonstration : Pour tout x de E :
x = x - p(x) + p(x)
Comme p (x - p(x)) = p(x) - p(x) = 0, on a donc : x - p(x) E Ker p.
De façon évidente : p(x) E Im p .
Par suite: E = Ker p + Imp.
Il reste à montrer que la somme est directe. À cet effet, on considère un élément y de
Kerpnimp.
Comme y E I m p, il existe un élément x de E tel que : y = p(x).
Or, comme y E Ker p, p(y) = 0, soit p (p(x)) = 0, soi.t p(x) = O.
Par suite : x E Ker p, et y = p(x) = O. La somme Ker p + I m p est donc directe :
Ker p + Imp =Ker pœimp
:>- Caractérisation des symétries
Théorème
Soient E un espace vectoriel, et s une transformation linéaire de E.
Alors, s est une symétrie de E si et seulement si :
S o S = f dE
On dit alors que s est involutif
Théorème
Soient E un espace vectoriel, et s une symétrie de E. Alors :
E =Ker (s - l dE) $Ker (s + ldE)
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