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Sous-espaces vectoriels
1. Définition
On appelle sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel E un ensemble F de Etel que:
1. 0 E F;
2. étant donnés deux éléments x et y de F, x +y est aussi élément de F (ce qui signifie
que Fest stable par adddition);
3. étant donnés un élément x de F, et À dans K, À x est aussi élément de F (ce qui
signifie que Fest stable par la multiplication par un scalaire) ;
>- Caractérisation des sous-espaces vectoriels
Théorème
Un ensemble F de E est un sous-espace vectoriel du K -espace vectoriel E si et seulement
si, étant donnés deux éléments x et y de F, et À. dans K, x + À y est aussi élément de F
(ce qui signifie que Fest stable par combinaisons linéaires):
V (x, y) E F x F, V À E K : x + ;l y E F
2. Transformations linéaires d'un espace vectoriel E
>- Définition
On appelle transformation linéaire d'un espace vectoriel E, ou encore application
linéaire d'un espace vectoriel E une application f, de E dans E, linéaire :
V (x, y) E Ex E , V À E K : f(x +À y) = f(x) + Àf(y)
>- Une application linéaire remarquable : l'application identité
On appelle application identité de l'espace vectoriel E l'application, notée ldE :
>- Propriétés
Une transformation linéaire f d'un espace vectoriel E est dite injective si :
V (x1, x2) E EX E : f(x1) = f(x2) :::::} x 1 = x2
Une transformation linéaire f d'un espace vectoriel E est dite surjective si :
V y E E, 3 x E E : y = f(x)
Une transformation linéaire d'un espace vectoriel E est un automorphisme de E si
elle est bijective, c'est-à-dire injective et surjective.
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