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>- Vecteurs liés
Deux vecteurs x et y sont dits liés s' il existe une combinaison linéaire non triviale de ces
vecteurs égale au vecteur nul, c'est-à-dire lorsque les coefficients de la combinaison sont
non simultanément nuls, de la forme :
Àx+µy = O
(À,µ) * (0, 0)
>- Vecteurs libres
Deux vecteurs x et y sont dits libres s'ils ne sont pas liés.
Généralisation
n vecteurs x 1 , ••• , Xn sont dits liés s' il existe une combinaison linéaire non triviale de
ces vecteurs égale au vecteur nul , c'est-à-dire lorsque les coefficients de la combinaison
sont non simultanément nuls, de la forme :
n
I
ÀiXi = 0
i=l
où À1, ... , Àn sont des réels tels que (À1, ... , Àn) * (0, ... , 0).
n vecteurs x 1 , • .. , Xn sont dits libres s' ils ne sont pas liés
Propri ét é
Pour toute famille (x 1 , . • . , x 11 ) de vecteurs libres :
À 1 XJ + . .. + À 11 Xn = 0 ~ (À 1, . . . , À 11 ) = (0, . . . , 0)
ce qui signifie que, s' il existe une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, alors les
coefficients de cette même combinaison linéaire sont nécessairement nuls.
3. Dimension d' un espace vectoriel
>- Espace vectoriel de dimension finie
Un OC-espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il possède une partie génératrice
fin ie.
1
Exemple
IR. 3 est de dimension 3 (toute base de IR. 3 possède trois éléments).
>- Espace vectoriel de dimension infinie
Un OC-espace vectoriel E est dit de d imension infinie s'il ne possède pas de partie génératrice fin ie .
Exemple
L' espace C
1 ([0, 1], IR) des fonctions de classe C
1 sur [O, 1] et à valeurs dans IR est de dimension
infinie (on ne peut pas trouver de famille génératrice).
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