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>- OC-espace vectoriel
De façon plus générale, si K est un corps
1 , on appelle espace vectoriel sur le corps K
(ou K-espace vectoriel) un triplet (E, +, x) tel que :
1. (E, +)est un groupe commutatif, d'élément neutre ÜE, c'est-à-dire:
• étant donnés deux éléments x et y de E, x +y = y+ x est aussi élément de E, et
X+ OE = OE +X = X;
• tout élément x de E admet l'élément -x comme opposé:
X+ (-x) = (-x) +X = ÛE
• étant donnés trois éléments x, y et z de E, x +(y + z) = (x +y)+ z (cela signifie
que la loi « + » est associative) ;
2. étant donnés deux éléments x et y de E, et À dans K, À (x +y) = (À x) + (;l y) est
aussi élément de E ;
3. étant donnés deux éléments x et y de E, x + y est aussi élément de E ;
4. étant donnés un élément x de E, et À etµ dans K, (;l + µ) x est aussi élément de E;
5. étant donnés un élément x de E , et À etµ dans K :
(Aµ)x = À (µx)
6. étant donné un élément x de E, l'élément unité l oc de K est l'élément neutre de la
multiplication par un scalaire :
Les éléments de (E, +, x) sont appelés vecteurs.
K est le corps de base de (E, +, x).
Notation
1. Pour alléger les écritures, un K-espace vectoriel (E, +, x) sera noté E.
2. Les vecteurs d'un espace vectoriel seront notés« sans flèche» : x, pour les distinguer
des vecteurs du plan ou de l'espace.
2. Vecteurs
>- Combinaison linéaire
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Étant donnés un K-espace vectoriel E, et n
vecteurs x 1 , ••• , Xn de E, on appelle combinaison linéaire de x 1 , ..• , Xn tout vecteur de
la forme:
11
À1 XJ + À.2 x2 + ... + Àn Xn = I À.j Xi
i=I
Ainsi, un OC-espace vecto1iel E est stable par combinaisons linéaires à coefficients dans K :
toute combinaison linéaire d'éléments de E appartient à E.
1. Par exemple : C, Z, etc.
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