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Les espaces vectoriels
On général ise ici les résultats dont on dispose sur!' espace Rn , en considérant, de façon
plus générale, des ensembles stables par combinaisons linéaires : les espaces vectoriels.
1. Définitions
>- IR.-espace vectoriel
On appelle espace vectoriel sur R (ou R-espace vectoriel) un triplet (E, +, x) tel que :
1. (E, +)est un groupe commutatif, d'élément neutre OE, c'est-à-dire
• étant donnés deux éléments x et y de E, x +y = y+ x est aussi élément de E, et
X+ ÛE = ÛE +X = X;
• tout élément x de E admet l'élément - x comme opposé :
x + (- x) = (- x)+x=OE
• étant donnés trois éléments x, y et z de E, x +(y + z) = (x +y)+ z (cela signifie
que la loi « + » est associative) ;
2. étant donnés deux éléments x et y de E, et un réel .:!, À (x + y) = (.:! x) + (.:!y) est
aussi élément de E ;
3. étant donnés un élément x de E, et deux réels À etµ, (.:! + µ) x = (.:! x) + (µ x) est
aussi élément de E ;
4. étant donnés un élément x de E, et deux réels À etµ :
(Àµ)x = À (µx)
5. étant donnés un élément x de E, le réel 1 est l'élément neutre de la multiplication
par un scalaire :
1x x = x
Les éléments de (E, +, x) sont appelés vecteurs.
R est Je corps de base de (E, +, x).
Exemples
1. (IR., + , x) est un R.-espace vectoriel.
2. Étant donné un entier naturel non nul n, OR",+, X) est un R-espace vectoriel.
3. L'espace C
1 ([0, l], R) des fonctions de classe C
1 sur [O, l] et à valeurs dans Ill est un Respace vectoriel.
4. L'espace R.[X] des polynômes à coefficients réels Ill est un IR.-espace vectoriel.
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