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Il suffi t donc de choisir pour X3 un vecteur du noyau de (A - À !3)3, c'est-à-dire dans R. 3 (car
on est en dimension 3) qui soit indépendant de X 1 et X2.
Il est à noter que le dernier vecteur, X 3 , peut être choisi quelconque du moment qu'il est indépendant de X 1 et X 2 : en effet, trigonaliser revient juste à exprimer la matrice de l'application
linéaire associée à A dans une nouvelle base. Dans la mesure où le dernier vecteur colonne de
la matrice obtenue par trigonalisation a des composantes suivant chacun des vecteurs X 1 , . . .,
X 3 , Je choix de X 3 importe donc peu.
La réciproque se vérifie aisément.
Pour trigonaliser une matrice de M 11 (R) dont le polynôme caractéristique est scindé, on procède de façon analogue .
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