"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Si SO(R 3 ) s'appelle le groupe spécial orthogonal de JR 3 , c'est, aussi, parce qu'il
possède une structure de groupe, et constitue, donc, un ensemble muni d'une loi
de composition interne, associative, admettant un élément neutre et telle que chaque
élément de l'ensemble (du groupe, donc), admette un élément symétrique, ce qui est
bien le cas :
si on munit S 0(R 3 ) de la loi « o », J' élément neutre est l'application identité idR.3 ;
en composant une symétrie avec elle-même, on obtient l'identité;
en composant une rotation de centre .Q, d'angle 8, avec la rotation de centre .Q,
d'angle - 8, on obtient également l' identité.
Application à la chimie moléculaire
En chimie moléculaire, un certain nombre de fonctions caractéristiques des molécules sont des éléments d'espaces vectoriels (c'est-à-dire un ensemble muni d'une
structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires), qui doivent être invariantes par les opérations du groupe auquel la molécule appaitient; ces opérations,
qui sont, tout simplement, des symétries ou des rotations, font en effet coïncider la
molécule avec elle-même.
Un espace vectoriel sur un corps IK (OC = IR ou C le plus souvent) est un ensemble E, muni d'u ne loi de composition interne, associative et commutative,
notée, usuellement, +,telle que (E, +)soit un groupe, et d'une loi de composition
externe, appelée multiplication par un scalaire, et notée « · », vérifiant les quatre
axiomes suivants :
V ( u, V) E E X E' V À E K : À . ( u + V) = À. . u + À. . V ;
V (u, v) E Ex E, V (À,µ) E K 2 (Il.+ µ ) · u = ,.l . u + µ · u;
V (u, v) E Ex E, V (À,µ) E K 2 (,1µ) · u = À·(µ· u);
V u E E : 1 · u = u.
Ainsi, les molécules dites « ballons de football », ou fullerène C 6 o, possèdent,
comme groupe de symétries, celui de l'isocaèdre 1 •
Le groupe des rotations de l'isocaèdre est formé par les rotations de l'espace qui
laissent invariante la position globale de l' isocaèdre, tout en permutant certaines
faces .
Les molécules de fullerène ont une structure d' isocaèdre tronqué, et possèdent donc
les mêmes symétries que l' isocaèdre de départ.
L' importance de ces symétries est fondamentale, dans la mesure où ce sont les
symétries qui peuvent aider à suggérer les formules de liaison chimiques, et donc,
ensuite, de classer les molécules en fonction de leurs propriétés.
1. c'est-à-dire un polyèdre, solide de dimension 3, comportant, exactement, 20 faces.
303
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Si SO(R 3 ) s'appelle le groupe spécial orthogonal de JR 3 , c'est, aussi, parce qu'il
possède une structure de groupe, et constitue, donc, un ensemble muni d'une loi
de composition interne, associative, admettant un élément neutre et telle que chaque
élément de l'ensemble (du groupe, donc), admette un élément symétrique, ce qui est
bien le cas :
si on munit S 0(R 3 ) de la loi « o », J' élément neutre est l'application identité idR.3 ;
en composant une symétrie avec elle-même, on obtient l'identité;
en composant une rotation de centre .Q, d'angle 8, avec la rotation de centre .Q,
d'angle - 8, on obtient également l' identité.
Application à la chimie moléculaire
En chimie moléculaire, un certain nombre de fonctions caractéristiques des molécules sont des éléments d'espaces vectoriels (c'est-à-dire un ensemble muni d'une
structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires), qui doivent être invariantes par les opérations du groupe auquel la molécule appaitient; ces opérations,
qui sont, tout simplement, des symétries ou des rotations, font en effet coïncider la
molécule avec elle-même.
Un espace vectoriel sur un corps IK (OC = IR ou C le plus souvent) est un ensemble E, muni d'u ne loi de composition interne, associative et commutative,
notée, usuellement, +,telle que (E, +)soit un groupe, et d'une loi de composition
externe, appelée multiplication par un scalaire, et notée « · », vérifiant les quatre
axiomes suivants :
V ( u, V) E E X E' V À E K : À . ( u + V) = À. . u + À. . V ;
V (u, v) E Ex E, V (À,µ) E K 2 (Il.+ µ ) · u = ,.l . u + µ · u;
V (u, v) E Ex E, V (À,µ) E K 2 (,1µ) · u = À·(µ· u);
V u E E : 1 · u = u.
Ainsi, les molécules dites « ballons de football », ou fullerène C 6 o, possèdent,
comme groupe de symétries, celui de l'isocaèdre 1 •
Le groupe des rotations de l'isocaèdre est formé par les rotations de l'espace qui
laissent invariante la position globale de l' isocaèdre, tout en permutant certaines
faces .
Les molécules de fullerène ont une structure d' isocaèdre tronqué, et possèdent donc
les mêmes symétries que l' isocaèdre de départ.
L' importance de ces symétries est fondamentale, dans la mesure où ce sont les
symétries qui peuvent aider à suggérer les formules de liaison chimiques, et donc,
ensuite, de classer les molécules en fonction de leurs propriétés.
1. c'est-à-dire un polyèdre, solide de dimension 3, comportant, exactement, 20 faces.
303
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(