"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Théorème
Soit A = (ai;) . . E M 11 (R). Si le polynôme caractéristique de A est scindé et à
· l ,,;;1,,;;11, J,,;;;,,;;n
racines simples, alors A est diagonalisable.
3. Trigonalisabilité
Soit A = (aij)
E M 11 (R ). La matrice A est dite trigonalisable s' il existe une
· 1 ~i~11, 1 ~j~n
base (X 1 , • •• , X 11 ) de R
11 dans laquelle la matrice de l' application linéaire associée à A
est triangulaire. Les coefficients diagonaux de la matrice ainsi obtenue sont les valeurs
propres de A.
Si P est la matrice de passage de la base canonique à la base (X 1 , •.• , X 11 ) , alors la
matrice p- I A P = T est triangulaire. C'est, tout simplement, la matrice de l'application
linéaire associée à A, mais exprimée dans la base (X 1 , ••• , X,,).
Théorème
Soit A = (a .. )
E M 11 (R). Si le polynôme caractéristique de A est scindé, alors
lj l~i~n, l ~/~11
A est trigonalisable.
Exemple
Prenons le cas où n = 3, où le polynôme caractéristique de A est scindé, avec une seule racine
À, et où l'espace propre E,i est de dimension l.
Soit A = (a; 1 ) .
3
.
e M 3 (R) une matrice trigonalisable. On désigne par À) ' unique valeur
) ~/~ ' 1~;~3
propre de A, de multiplicité 3.
Trigonaliser A revient donc à déterminer une famille libre (X 1 , X 2 , X 3 ) de vecteurs tels que :
Pour Je premier vecteur, X 1 , il est naturel de prendre un vecteur propre associé à la valeur
propre À.
Pour le second vecteur, X 2 , il est intéressant de remarquer que la seconde relation s'écrit aussi:
Si on multiplie à gauche par A - À 1 '3. on obtient :
puisque, par définition, X 1 est dans le noyau de A - À h
li su ffi t donc de choisir pour X 2 un vecteur du noyau de (A - À h)
2 qui soit indépendant de X 1 •
Pour le troisième vecteur, X 3 , il est intéressant de remarquer que la troisième relation s'écrit
aussi :
(A -À / 3) X3 = t1 3 X1 + t23 X2
Si on multiplie à gauche par (A - À ! 3 )
2 , on obtient :
(A - À !3)3 X3 = t1 3 (A - À !3) 2 X1 + t23 (A - À IJ) 2 X2
=
0
puisque X 1 est dans le noyau de A -À '3. et, par construction, X 2 est dans Je noyau de (A-À ! 3 )
2 •
301
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
Théorème
Soit A = (ai;) . . E M 11 (R). Si le polynôme caractéristique de A est scindé et à
· l ,,;;1,,;;11, J,,;;;,,;;n
racines simples, alors A est diagonalisable.
3. Trigonalisabilité
Soit A = (aij)
E M 11 (R ). La matrice A est dite trigonalisable s' il existe une
· 1 ~i~11, 1 ~j~n
base (X 1 , • •• , X 11 ) de R
11 dans laquelle la matrice de l' application linéaire associée à A
est triangulaire. Les coefficients diagonaux de la matrice ainsi obtenue sont les valeurs
propres de A.
Si P est la matrice de passage de la base canonique à la base (X 1 , •.• , X 11 ) , alors la
matrice p- I A P = T est triangulaire. C'est, tout simplement, la matrice de l'application
linéaire associée à A, mais exprimée dans la base (X 1 , ••• , X,,).
Théorème
Soit A = (a .. )
E M 11 (R). Si le polynôme caractéristique de A est scindé, alors
lj l~i~n, l ~/~11
A est trigonalisable.
Exemple
Prenons le cas où n = 3, où le polynôme caractéristique de A est scindé, avec une seule racine
À, et où l'espace propre E,i est de dimension l.
Soit A = (a; 1 ) .
3
.
e M 3 (R) une matrice trigonalisable. On désigne par À) ' unique valeur
) ~/~ ' 1~;~3
propre de A, de multiplicité 3.
Trigonaliser A revient donc à déterminer une famille libre (X 1 , X 2 , X 3 ) de vecteurs tels que :
Pour Je premier vecteur, X 1 , il est naturel de prendre un vecteur propre associé à la valeur
propre À.
Pour le second vecteur, X 2 , il est intéressant de remarquer que la seconde relation s'écrit aussi:
Si on multiplie à gauche par A - À 1 '3. on obtient :
puisque, par définition, X 1 est dans le noyau de A - À h
li su ffi t donc de choisir pour X 2 un vecteur du noyau de (A - À h)
2 qui soit indépendant de X 1 •
Pour le troisième vecteur, X 3 , il est intéressant de remarquer que la troisième relation s'écrit
aussi :
(A -À / 3) X3 = t1 3 X1 + t23 X2
Si on multiplie à gauche par (A - À ! 3 )
2 , on obtient :
(A - À !3)3 X3 = t1 3 (A - À !3) 2 X1 + t23 (A - À IJ) 2 X2
=
0
puisque X 1 est dans le noyau de A -À '3. et, par construction, X 2 est dans Je noyau de (A-À ! 3 )
2 •
301
Il\
~
~
u
- n:s
u
Q)
Il\
~
- n:s c:
<(