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>- Espace propre
Soient A = (aij)
E M n(R ), et À une valeur propre de A.
1 ~i~n, 1 ~j~n
O n appelle espace propre associé à la valeur propre À l'ensemble des vecteurs X tels
que A X = ÀX. C'est un sous-espace vectoriel de R n, que l' on note E, 1 :
EA = Ker(A - A l,i)
>- Sous-espace caractéristique
Soient A = (aij) . .
. E M n(R ), et À une valeur propre de A, de multiplicité n" ~ n.
1 ~1.~n, 1 ~J~n
On appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre Il le noyau
Ker (A - A l 11 )'
1
A de (A - A 1 11 r 1 , c'est-à-dire l'ensemble des vecteurs X tels que:
(A - A l 11 t'
1 X = 0
C'est un sous-espace vectoriel de Rn.
2. Diagonalisabilité
Soit A = (aij) . . . E M 11 (JR.). La matrice A est dite diagonalisable s' il existe une
l ~t~n , l ~J ~ll
base (X 1 , • • • , Xn) de R
11 de vecteurs propres.
S i P est la matrice de passage de la base canonique à la base (X 1 , • • • , Xn) , alors la
matrice p - l A P = D est diagonale. C'est, tout simplement, la matrice de l'application
linéaire associée à A, mais exprimée dans la base (X1, . . . , Xn). Les coefficients diagonaux de la matrice D ainsi obtenue sont les valeurs propres de A .
Théorème
Pour qu'une matrice A = (aij) .
. E M n(R), dont le polynôme caractéristique
1 ~1~n, 1 ~J~ll
est scindé sur R, soit diagonalisable, il.faut et il suffit que la dimension de chaque espace
propre soit égale à la multiplicité de La valeur propre associée :
V ;l E S p(A) : dim EA = multiplicité(A)
Notation
N
Étant donné un polynôme P à coefficients réels, de la forme I ak Xk, N E N , et une mak=O
tri ce A = (ai; ) .
.
· l ~1 ~11, l ~J~n
E M 11 (R), P(A) est la matrice carrée d'ordre n, à coefficients
réels, donnée par :
(Par convention, A 0 = / 11 . )
Théorème
Pourqu'unematriceA = (ai;) .
. E M 11 (R ), soit diagonalisable, ilfautetilsuffit
. 1 ~ 1 ~11, l ~J~ll
qu'il existe un polynôme scindé à racines simples P E R[X] annulant A : P(A) = O.
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