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Réduction des matrices carrées
1. Valeur propre, vecteur propre
Soit A = (aiJ) . . une matrice carrée d'ordre n, à coefficients réels. On appelle
l ~1~n, 1 ~J~n
valeur propre de A un réel À. tel qu' il existe un vecteur non nul X = [~
1
] vérifiant:
Xn
AX = À.X
X est alors un vecteur propre de la matrice A.
L'ensemble des valeurs propres de A est appelé Spectre de A, et noté S p(A).
Théorème
Étant donnée une matrice A = (ai;) . 1
.
E M 11 (1R), les valeurs propres de A sont
. 1 ~1~11, ~}~Il
les racines du polynôme caractérisüque de A :
Démonstration : S'il existe un vecteur X non nul tel que A X = À. X, À. E JR, on a aussi :
Ce système linéaire admet alors une infin ité de solutions; en effet, si X * 0 est solution,
alors, pour tout réel a :
(A - À. / 11 ) a X = 0
Le déterminant du système est donc nul :
det (A - À. / 11 ) = 0
Réciproquement, si À. est racine de det (A - A ! 11 ) = 0, le noyau de l'application linéaire
associée à la matrice A - ;u,, n'est pas réduit au vecteur nul; il existe donc un vecteur
non nul X tel que :
À. est donc bien valeur propre de la matrice A.
•
~ Multiplicité d'une valeur propre
Soient A = (ai J) . . E M n(lR), et À une valeur propre de A . il est dite valeur
1 ~1~11, 1 ~}~11
propre, de multiplicité n,i E N, de A, si À. est racine d'ordre n 1 1 du polynôme caractéristique de A.
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