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ou encore:
Définition
Deux transformations linéaires f et g de lR'\ de matrices associées A f et Ag, sont
dites conjuguées s'il existe une transformation linéaire bijective cp de lR'\ de matrice
associée Aip, appelée conjugaison, telle que :
focp=cpog
ce qui, matricieJLement, se traduit par:
ou encore, puisque Acp est inversible :
Les matrices A 1 et Ag sont dites semblables.
Définition
Deux matrices A et B de M 11 (lR) sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P E g.L:,,(lR) telle que:
B = p- 1 AP
~
Les matrices A et B jouent des rôles symétriques.
2. Déterminant d'une application linéaire de Rn
Proposition
Deux matrices semblables ont même déterminant.
Démonstration : Soient A et B deux matrices semblables, de taille n x n.
D 'après ce qui précède, il existe une matrice inversible P telle que :
p-I AP = B
Il en résulte :
det (B) = det (P1 A P) = det (A p-I P) = det (A)
•
Définition
On apelle déterminant d'une transformation linéaire f de JR
11 le déterminant de sa
matrice dans la base canonique, ou, de façon équivalente, dans une base quelconque 13 .
La valeur du déterminant d'une transformation linéaire f de R.'
1 ne dépend effectivement pas
de la base choisie: si 13et13' sont deux bases de l'espace !Rn, les matrices A'f3(/) et A'f31(/), qui
représentent donc la même application linéaire dans deux bases différentes, sont semblables,
et ont donc même déterminant.
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