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Conjugaison - Matrices semblables
de taille n x n
Il a été vu précédemment que, pour une base donnée, il existe une unique matrice associée à une application linéaire f.
Il peut être intéressant de donner les relations pem1ettant de passer de la matrice A13(f)
associée à f dans une base '13, à la matrice A$' (f) associée à f dans une nouvel le base '13'.
1. Matrices semblables
Considérons les bases '13 = ( e 1 , . .. , e 11 ) et '13' = ( e' 1, . .. , e' 11 ) de JR.
11
•
On désigne par As(f) = (aij) . . la matrice associée à f dans la base ' 13, et par
l,;;,1,;;,11, l ,;;,1,;;,n
·
A13' (f) = (œij) . . la matrice associée à f dans la base '13'.
1 ~1,;;,11, 1 ~)~11
On appelle P13"'M13' la matrice de passage de '13 à '13' .
Soit x un vecteur de JR
11
• On désigne par (x). 13 = [ ~
1
] ses coordonnées dans '13, et par
Xn
(x)131 = [ ~ ] ses coordonnées dans '13' ; de même, on désigne par (f(x)) 13 les coordonxn
nées de f(x) dans 13, et par (f(x)) 13 , les coordonnées de f(x) dans '13'. Alors :
(f(x))13 = A13(f) (x)13
= A 13 (f) P 13"'M13' (X) 13'
Mais on a aussi :
et :
Il en résulte :
Comme
on a donc:
ou encore:
(As(f) - P$"'Mt3' As 1 (f) PB~ 13 ,) (x) 13 = 0
Le vecteur x étant quelconque, on en déduit, en choisissant successivement pour i1 chacun des vecteurs de '13, la nullité de chaque colonne de A 13 (f) - P A 13
1 (f) p-I :
A:B(f) = P13"'M13 1 A;B 1 (f) P"fa~ 13 ,
297
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