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Théorème
Une transformation linéaire de Rn est injective si son noyau est réduit au vecteur nul :
Ker f = {O}
Démonstration : Ce résultat découle de la linéarité de f.
Définition
Une transformation linéaire de Rn est dite surjective si :
V y E R
11
, 3 x E R
11
: y = f(x)
4. Automorphisme
Définition
Une transformation linéaire de R
11 est un automorphisme, de R
11 si elle est bijective,
c'est-à-dire injective et surjective.
•
L'ensemble des automorphismes de Rn est appelé groupe linéaire de IR\ 11 1 , et noté
Ç.l(JRll).
Proposition
Pour qu'une transformation linéaire f de R
11 soit un automorphisme de R
11
, il faut et il
suffit que le déterminant de sa matrice A13(f) dans une base 13 quelconque soit non nul.
Sa réciproque f -
1 est alors une transformation linéaire de Rn, de matrice dans 13
A13(f1
) = (A13(f)) -
1
>- Théorème du rang dans !!ln (ou formule du rang)
Théorème
Dans R
11
:
dimimf + dim Ker f = n
dim I m f est le rang de f, noté aussi rg f.
>- Caractérisation des automorphismes de Illn
Théorème
Soit f une transformation linéaire de Rn. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
• f est injective ;
• f est surjective ;
• f est bijective .
l. car il possède une structure de groupe, c 'est-à-dire est stable par produit, et tout élément non nul est
inversible.
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