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Changement de base
1. Matrice de passage
Définition
Soient '13 = ( e 1, . .. , e 71 ) et :B' = ( e~ , .. . , e; 1
) deux bases de R
11
•
On désigne par Ps ..... 13 1 = (Pïj) . . la matrice dont les vecteurs colonnes repré1.;;t.;;n, 1.;;;.;;n
sentent les coordonnées (ou composantes) des vecteurs e~, .. ., e; 1 dans la base 'l3:
11
Vi E {l, . . ., n}: e; = IPjiej
.i=I
P 73_.13, est appelée matrice de passage de 'l3 à 'l3' .
2. Formule de changement de base pour un vecteur
Soit x un vecteur de R
11
• On désigne par (x) . ~ ~ = [ ~
1
] ses coordonnées dans :B, et par
Xn
(x)13, = [ ~~ ] ses coordonnées dans :B'. Alors, si Ps-.73' = (Pij) . . est la matrice
·
l .;;t.;;n, l .;;;.;;n
x;z
de passage de '13 à '13' :
soit:
Démonstration :
n.
X =
"'"' .! /
L..J / , 1
i=I
n
n
= I x; IP jiej
i=I
j =I
n
n
= IIPjix;eJ
i=I .i= I
Il
Il
= IIPijxjei
i=I j= l
295
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