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>- Composée de deux transformations linéaires
Proposition
La composée f o g de deux transformations linéaires f et g de Rn , de matrices associées
A11(f) et A11(g) dans une base :B = (e 1 , • •• , e 11 ) donnée, est une transfom1ation linéaire
[
XI l
de Rn, qui vérifie : V x = ; E R
11 :
Xn
(f o g)(x) = f (g(x)) = A13(f) (A23(g) x) = (A13(f) A13(9)) x
Ainsi, f o g a pour matrice, dans la base :B :
A11(f o g) = A11(f) A11(g)
>- Formule du binôme de Newton
Proposition
Étant données deux transformations linéaires f et g de R
11 qui commutent, c'est-à-dire
telles que f o g = go f, alors, pour tout entier naturel p, la formule du binôme de Newton
permet de calculer (f + g)P, où la puissance est au sens de la composition :
p
(f + g)P = ~ C~fk 0 gp- k
k=O
où, pour tout entier k de {O, . .. , p}, C~ désigne le coefficient binomial :
>- Noyau
Définition
( ~ ) - k! c:~ k)!
On apelle noyau d'une transformation linéaire f de R
11
, que l'on note Ker f (de l' allemand kern) l'ensemble des vecteurs de JR.1
1 dont l' image par f est le vecteur nul :
Ker f = {x E R
11
/ f(x) = O}
Par extension, le noyau d'une matrice A E M 11 (R) est le noyau de l'application linéaire
associée à la matrice A.
>- Image
Définition
On apelle image d'une transformation linéaire f de R" , que l'on note Im f l'ensemble
des images des vecteurs de Rn par f :
Imf = {j(x) ,x E R
11
}
3. Propriétés
Définition
Une transformation linéaire de Rn est dite injective si :
V (x1, x2) E Rn X Rn : f(x1) = f(x2) ~xi = x2
293
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