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>- Domaine de définition
Proposition
Une transformation linéaire de Rn est entièrement définie par ses valeurs sur une base
donnée.
Démonstration : Soit f : R
11 ~ R" une transformation linéaire, et 13 = (e1, e1, ... , en)
une base de Hln.
On suppose que les images des vecteurs e 1 , • •• , e, 1 sont données :
n
V i E { 1, 2, ... , n} : f ( e i) = _L a ji e j
j= I
fi
Alors, pour tout vecteur x = x, e, + ... + Xn e 11 = _L Xie; de R
11
:
i= I
Ainsi:
D'où le résultat.
Proposition
f (x) = f (f x; e; )
1= 1
i= I
n
n
= _L x; I ajiej
i= l
j = I
n
n
_L _Lxiajiej
i=I j=I
n
n
L L xjaijei
i= l j = I
(
a11 ... a1n l (Xt l
(f (x))s = : .. . :
:
an l · · · a1111
Xn
•
Une transformation linéaire de Rn est entièrement définie par la matrice qui lui est associée dans une base donnée.
Démonstration : Le résultat découle immédiatement de la proposition précédente: une
transformation linéaire de R
11 est entièrement définie par ses valeurs sur une base donnée .
•
Définition
On appelle matrice d'une transformation linéaire f de ffi
11
, la matrice de f dans la
base canonique. Elle sera notée, dans ce qui suit, A J·
Une transformation linéaire de R.
11 étant entièrement défi nie par la matrice quj lui est associée
dans une base donnée, il est clair qu'il est préférable de se placer dans une base donnant une
expression la plus agréable possible de la matrice: triangulaire, ou diagonale. Cela s'appelle
trigonaliser ou diagonaliser une application li néaire (ou une matrice).
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