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Transformations linéaires
de l'espace Rn
1. Définitions
Définition
On appelle transformation linéaire de l'espace m", ou encore application linéaire
de l'espace m" une application f, de Rn dans R
11
, linéaire :
V (x, y) E Rn X R", V ;l E R : f(x + ;ly) = f(x) + ;lf(y)
Pour toute transformation linéaire f de l'espace ~" :
/(0) = 0
Exemples
1. L' application :
f: !R
11 -? R.
11
, (x i , . . . ,x,,) H (x1+ 1, . . . ,X 11 + 1)
n'est pas linéaire.
2. L'application :
f: R
11
-? R
11
, (x1, . .. ,x11) H 3(x1, .. . ,x11) = (3x1, ... ,3x11)
est li néaire.
Proposition
Étant donnée une matrice A = (aiJ) . . . , de taille n x n, à coefficients réels, l'api ~1~11, J ~;~n
plication :
fA : Rn -7 ]Rn' [ ~I l H A [ ~1 l = [ a11 X1 + · ; · + a 111 Xn l
Xn
X 11
a,,1 Xt + .. . + a1111 x,,.
est linéaire, et définit une transformation linéaire de Rn.
2. Matrice d'une transformation linéaire
Définition
On appelle matrice, dans une base '13 = (ei, ..• , e,,) donnée, d 'une transformation
linéaire f de m", la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées, dans :B,
des images des vecteurs de :B :
M atrice13(f) = (f (e i), ... , f (en))
>- Une application linéaire remarquable: l'application identité de R.n
Définition
On appelle application identité de m
11 l'application, notée /dF. _n, de matrice associée / 11 :
XE R
11 H X
291
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