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>- Dimension d'une base de iR.n
Théorème
1. Toute base de l'espace IR
11 admet exactement n éléments.
2. On appelle dimension de IR" le nombre d'éléments de toute base de IR
11
:
dirn !Rn = n
3. Toute.famille libre den éléments de l'espace IR
11 est une base de !Rn.
4. Toute.famille génératrice den éléments de l'espace IR" est une base de !Rn.
>- Théorème de la base incomplète
Théorème
Toute famille libre {xi, ... , XN }, N E N, N < n, peut être complétée en une base
{x1' . .. , XN , XN+ (, . . . , Xn} de IR
11
•
3. Sous-espace vectoriel de !Rn
Définition
On appelle sous-espace vectoriel de !Rn un ensemble F de !Rn tel que :
• 0 E F;
• étant donnés deux éléments x et y de F , x + y est aussi élément de F (ce quj signifie
que F est stable par addition);
• étant donnés un élément x de F, et un réel Il, /lx est aussi élément de F (ce qui
signifie que Fest stable par la multiplication par un scalaire).
>- Caractérisation des sous-espaces vectoriels de !Rn
Théorème
Un ensemble F de IR
11 est un sous-espace vectoriel de !Rn si et seulement si, étant donnés
deux éléments x et y de F, et un réel À, x + À y est aussi élément de F (ce qui signifie que
F est stable par combinaisons linéaires) :
V(x, y) E IR
11 x !R
11
, VA E IR x + Ày E F
>- Dimension d'un sous-espace vectoriel
Théorème
On appelle dimension d'un sous-espace F de IR
11 le nombre d 'éléments de toute base
de F.
4. Somme de sous-espaces vectoriels de IR.n
F 1 et F 2 étant deux sous-espaces vectoriels de IR
11 , l'ensemble :
F1 + F2 = {x1 + x2, x, E F1, x2 E F2}
est un sous-espace vectoriel de !Rn, appelé somme de F 1 et F2.
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