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Espace engendré par une famille
de vecteurs - Sous-espaces vectoriels
de Rn
1. Bases
Définition
On appelle base de l'espace JR.
11 toute famille libre de n vecteurs de JR.n.
~ Base canonique
Définition
On appelle base canonique de l'espace JR.n la famille :
1
0
0
1
0
0
0
0
~ Coordonnées d'un vecteur
0
0
0
1
Soit 13 = (e1, . .. , en) une base de JR.
11
• Pour tout vecteur x de JR.' 1, il existe une unique
combinaison li néaire des vecteurs de fB égale à x :
n
X = XJ e .
1 + ... + Xn en = I Xi ei
i= I
x 1 E JR., ... , x,, E lR. sont les coordonnées (ou composantes) du vecteur x dans la base Les composantes d'un vecteur (x1 , ... , Xn) de IR.
11 dans la base canonique seront notées(~']·
Xn
2. Famille génératrice
Étant donnée une famille (x 1 , ••• , XN) de N vecteurs de JR.
11 , on appelle espace engendré
par la famille (x1, ... , XN) l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles de
cette famille, que l'on note V ect { x 1 , • •• , XN} .
Une famille (x 1 , . .. , XN) de n vecteurs de JR.
11 est dite génératrice si :
Une famille (x 1 , •• • , XN) de N vecteurs de Rn est une base de IR?. " si elle est libre et
génératrice.
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