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>- Multiplication d'un vecteur par un réel
Définition
On considère le vecteur (x 1 , • •• , x 11 ) del' espace R
11 •
Alors, pour tout réel À, À x est un vecteur de IR.
11
, de composantes (À x 1 , • •• , À Xn).
2. Familles de vecteurs libres (ou famille libre de vecteurs)
>- Combinaison de vecteurs
On appelle combinaison linéaire de deux vecteurs x et y, toute expression de la forme:
Àx + µy
où À etµ sont des réels.
On appelle combinaison linéaire de N vecteurs x i, ... , x N, toute expression de 1 a
forme:
où À1, . .. , ÀN sont des réels.
>- Vecteurs liés et vecteurs libres
N
I Ài Xj
i= I
Deux vecteurs x et y sont dits liés s' il existe une combinaison linéaire non triviale de ces
vecteurs égale au vecteur nul, c'est-à-dire lorsque les coefficients de la combinaison sont
non simultanément nuls, de la forme :
Âx+µy = O
(À,µ) * (0, 0)
Deux vecteurs x et y sont dits libres s' ils ne sont pas liés.
>- Généralisation
N vecteurs x1, . .. , XN sont dits liés s' il ex iste une combinaison linéaire non triv iale de
ces vecteurs égale au vecteur nul, c'est-à-dire lorsque les coeffi cients de la combinaison
sont non simultanément nuls, de la forme :
N
L:ÀiXi = 0
i= l
où Àt , . . . , ÀN sont des réels tels que (À1, . . . , ÀN) * (0, . .. , 0).
N vecteurs x 1 , ••• , XN sont dits libres s' ils ne sont pas liés.
Propriété
Pour toute famille (x 1 , • • • , XN) de vecteurs libres :
À1 X1 + .. . + À N XN = 0 ~ (À t , . .. , ÂN) = (0, ... , 0)
ce qui signifie que, s' il existe une combinaison linéaire nulle de ces vecteurs, alors les
coefficients de cette même combinaison linéaire sont nécessairement nuls.
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