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Vecteurs en dimension n, n ~ 2
Dans ce qui précède, on s'est intéressé aux espaces usuels que sont le plan IR 2 , et l'espace JR 3 . IR 2 est de dimension 2, car pour se repérer dans le plan, il faut deux coordonnées.
De même, IR
3 est de dimension 3, car pour se repérer dans l'espace, il faut trois coordonnées. Mais dans la vie réelle de l' ingénieur ou du scientifique, une grandeur n'est pas,
en général, caractérisée par deux ou trois coordonnées, mais plus: ainsi, dès que l'on introduit une référence temporelle, il faut prendre en compte une donnée supplémentaire,
le temps t. On se retrouve ainsi dans un espace de dimension 4, où chaque grandeur est
caractérisée par ses trois coordonnées spatiales, et sa coordonnée temporelle.
De faço n plus générale, il est donc utile de disposer de résultats et d'outils mathématiques permettant de gérer un nombre n de coordonnées, ce qui nous place ainsi dans un
espace de dimension n ; IR", où on généralise les résultats déjà existants en dimension 2
ou 3, est l'exemple le plus naturel. Les résultats présentés dans ce qui suit s'appliquent
encore pour un espace (vectoriel) Ede dimension n.
Notation
Dans ce qui suit, n et N désignent des entiers supérieurs ou égaux à 2.
1. Définitions et propriétés fondamentales
Définition
On appelle vecteur à n composantes, un n-uplet de réels x = (x 1 , . .. , x,z), que 1' on
peut aussi écrire sous la forme ( ~
1
] ·
X11
x1, ... , x 11 sont appelées composantes du vecteur x.
Propriété
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes composantes.
:> Vecteur nul
Le vecteur, dont les n composantes sont nulles, est appelé vecteur nul, et noté O.
:> Somme de deux vecteurs
Définition
On considère les vecteurs x = (x i , . .. , x 11 ) et y = (y 1, ... , y 11 ) de l'espace IR
11
•
On définit le vecteur x +y = z comme l'unique vecteur de IRn, dont les composantes
(z1, ... , Zn) sont données par :
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Vecteurs en dimension n, n ~ 2
Dans ce qui précède, on s'est intéressé aux espaces usuels que sont le plan IR 2 , et l'espace JR 3 . IR 2 est de dimension 2, car pour se repérer dans le plan, il faut deux coordonnées.
De même, IR
3 est de dimension 3, car pour se repérer dans l'espace, il faut trois coordonnées. Mais dans la vie réelle de l' ingénieur ou du scientifique, une grandeur n'est pas,
en général, caractérisée par deux ou trois coordonnées, mais plus: ainsi, dès que l'on introduit une référence temporelle, il faut prendre en compte une donnée supplémentaire,
le temps t. On se retrouve ainsi dans un espace de dimension 4, où chaque grandeur est
caractérisée par ses trois coordonnées spatiales, et sa coordonnée temporelle.
De faço n plus générale, il est donc utile de disposer de résultats et d'outils mathématiques permettant de gérer un nombre n de coordonnées, ce qui nous place ainsi dans un
espace de dimension n ; IR", où on généralise les résultats déjà existants en dimension 2
ou 3, est l'exemple le plus naturel. Les résultats présentés dans ce qui suit s'appliquent
encore pour un espace (vectoriel) Ede dimension n.
Notation
Dans ce qui suit, n et N désignent des entiers supérieurs ou égaux à 2.
1. Définitions et propriétés fondamentales
Définition
On appelle vecteur à n composantes, un n-uplet de réels x = (x 1 , . .. , x,z), que 1' on
peut aussi écrire sous la forme ( ~
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X11
x1, ... , x 11 sont appelées composantes du vecteur x.
Propriété
Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes composantes.
:> Vecteur nul
Le vecteur, dont les n composantes sont nulles, est appelé vecteur nul, et noté O.
:> Somme de deux vecteurs
Définition
On considère les vecteurs x = (x i , . .. , x 11 ) et y = (y 1, ... , y 11 ) de l'espace IR
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On définit le vecteur x +y = z comme l'unique vecteur de IRn, dont les composantes
(z1, ... , Zn) sont données par :
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