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On a alors:
d'où le résultat.
Proposition
{
Re ( vî) = cos IJ vî + sin IJ ôi = cos IJ vî + sin IJ il /\ vî
Re ( ôi) = - sin IJ vî + cos B vî = cos B vî + sin B il /\ vî
Re(ft) =
il
•
La matrice d'une rotation axiale d'angle 8 E IR, dans une base orthonormale directe dont
le troisième vecteur dirige l'axe de la rotation, est de la forme :
[
cos e - sin e o l
Ae = sin IJ cos IJ 0
0
0 1
A 8 est une matrice de rotation; l'angle de la rotation est 8.
Démonstration : Soit R 9 la rotation d'axe dirigé par Je vecteu r k = [ ~ ]. d'angle O.
Alors, pour tout vecteur û de l'espace JR.
3 :
Re(Û) = cos IJ û + sin IJ k /\ û + ( 1 - cos IJ) ( û · k) k
Il en résulte, pour les trois vecteurs de la base canonique (7, ], k) :
d'où le résultat.
{
R (
....
()... . ().... ...
.... .
....
8 i) = cos i + sm k /\ i = cos 8 i + sm (} j
R( -t,)
()7
. llk ... 7
.
/)7
/)7
e J = cos J + sm o ~ /\ J = - sm o 1 + cos o J
....
...
Ro(k) =
k
On vérifie aisément que le déterminant d' une matrice de rotation vaut+ 1.
Le cas d'une base quelconque est laissé au lecteur.
Le groupe spécial orthogonal de JR. 3 , S O(JR. 3 ), est donc constitué :
t. de l'application identité idRJ ;
2. des rotations axiales ;
3. des symétries par rapport à une droite (cas particulier de rotations, d'angle rr) .
•
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