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Rotations vectorielles de l'espace R 3
1. Axe de rotation
Soient 8 un réel, iï un vecteur de IR 3 , et P le plan vectoriel orthogonal à il. On désigne par
(tp, ]p) une base de P telle que (tp, ]p, il) soit une base orthonormée directe de JR 3 . Dans
cette base, un vecteur ïl de JR 3 se décompose de manière unique sous la forme :
Soit alors:
....
7
7
Up = X;;tlp + Y11 }P
et R; la rotation (au sens vectoriel) de P, d'angle 8.
On considère l'application :
Re: R3 -7
R3
ïl HR:(up)+z, 1 iî
C'est une application linéaire, qui est une rotation vectorielle de JR 3 , d'angle 8. On parlera, dans ce qui suit, de rotation pour désigner une telle appl ication.
Si 8
Proposition
Soit R 6 la rotation d'axe di ri gé par le vecteur k = [ ~ l d'angle 8.
Alors, pour tout vecteur z1 de l'espace JR 3 :
Re( Û) = cos 8 il + sin 8 k !\ ïl + ( 1 - cos 8) ( ïl · kJ k
Démonstration : Il suffi t de vérifier la formule pour les trois vecteurs de la base cano. (7 7 k ... )
ruque z, ;, .
•
Proposition
Soit Re la rotation axiale, d'angle 8, dont l'axe est dirigé par le vecteur unitaire il.
Alors, pour tout vecteur û de l'espace JR 3 :
Re(ÛJ = cos 8 û +sin 8 iî /\ û + (1 - cos 8) (û · il) il
Démonstration : On complète iî par deux vecteurs vl et v2, tels que (vl, v2, iî) soit une
base orthonormale directe de JR
3 .
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Rotations vectorielles de l'espace R 3
1. Axe de rotation
Soient 8 un réel, iï un vecteur de IR 3 , et P le plan vectoriel orthogonal à il. On désigne par
(tp, ]p) une base de P telle que (tp, ]p, il) soit une base orthonormée directe de JR 3 . Dans
cette base, un vecteur ïl de JR 3 se décompose de manière unique sous la forme :
Soit alors:
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Up = X;;tlp + Y11 }P
et R; la rotation (au sens vectoriel) de P, d'angle 8.
On considère l'application :
Re: R3 -7
R3
ïl HR:(up)+z, 1 iî
C'est une application linéaire, qui est une rotation vectorielle de JR 3 , d'angle 8. On parlera, dans ce qui suit, de rotation pour désigner une telle appl ication.
Si 8
Proposition
Soit R 6 la rotation d'axe di ri gé par le vecteur k = [ ~ l d'angle 8.
Alors, pour tout vecteur z1 de l'espace JR 3 :
Re( Û) = cos 8 il + sin 8 k !\ ïl + ( 1 - cos 8) ( ïl · kJ k
Démonstration : Il suffi t de vérifier la formule pour les trois vecteurs de la base cano. (7 7 k ... )
ruque z, ;, .
•
Proposition
Soit Re la rotation axiale, d'angle 8, dont l'axe est dirigé par le vecteur unitaire il.
Alors, pour tout vecteur û de l'espace JR 3 :
Re(ÛJ = cos 8 û +sin 8 iî /\ û + (1 - cos 8) (û · il) il
Démonstration : On complète iî par deux vecteurs vl et v2, tels que (vl, v2, iî) soit une
base orthonormale directe de JR
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