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• Réciproquement, si f conserve la norme, on peut utiliser l'identité de polarisation:
et:
V(û,ïf) E R
3 x R
3
: AfÛ·A1.-i1 = ~ {11Afû+AfiJ11
2 -llA1 û - AfiJ11
2
}
Par suite:
V (il, ïf) E R
3 x R
3 : Af il· Af iJ = l {llA.r (il+ ïfJll
2 - llA.r (il - ü' )l1
2 }
puis:
V (il, Ü) E lR
3 X lR
3 : A.r il · A.t"Û = ~ {llû + v112 - llil - i J11
2
} = Û · Ü
D'où le résultat.
3. Groupe orthogonal
Définition
•
L'ensemble des transformations orthogonales de R 3 est appelé groupe orthogonal de
R
3 , et noté 0(R
3 ) .
Proposition
Si A est une matrice orthogonale, alors :
detA = ± 1
Démonstration :
Proposition
Si A est une matrice orthogonale, alors A est semblable à une matrice de la forme:
[
cos 8 - sin 8 0 l
Ae = sin 8 cos 8 0
Ü
Ü
E
où 8 est un réel, et :
s = det A E 1- 1, 1}
Définition
L'ensemble des transformations orthogonales de R 3 de déterminant égal à 1 est appelé
groupe spécial orthogonal de R
3 , et noté S O(R
3 ).
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