....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
Opérateurs orthogonaux
de l'espace R 3
1. Définitions
On appelle opérateur orthogonal de l'espace ffi 3 , ou transformation orthogonale
de ffi 3 , une transformation linéaire f de R 3 , de matrice A 1 , qui vérifie l'une des trois
propriétés équivalentes suivantes :
• f conserve le produit scalaire :
V(û,V) E R
3 x R
3 : A1i1·A1û = Û · Û
•
• les vecteurs colonnes C 1 , C2 , C3 de AJ constituent une base orthonormale, c'est-à-dire
une famille libre de vecteurs deux à deux orthogonaux et de norme 1 :
V(i,j) E {l,2, 3}
2 : Ci · Cj = Ôij
On dit alors que la matrice A.r est orthogonale.
2. Isométrie
Proposition
Une transformation orthogonale f, de matrice associée Af, conserve la norme (c'est une
isométrie) :
V Û = (x, y , z) E R
3 : 11/(it)ll = llûil
ce qui se traduit matriciellement par :
Vil = (x,y, z) E R
3 : llA/ ûJI = llûil
Démonstration : U suffit d'utiliser le fait qu'une transformation orthogonale conserve
le produit scalaire :
Proposition
Une matrice orthogonale A.r peut aussi être caractérisée par la propriété suivante :
V il E R
3 : llA f ûil = llûJI
qui signifie que f conserve la norme (l ' application linéaire f est donc une isométrie).
Démonstration: On montre que cette propriété qu'elle est équivalente à i. :
• Si f conserve le produit scalaire, alors :
V a E R
3 : Afa. AJ û = llûil . llûil
soit
et donc:
282
•