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Le vecteur ïl étant quelconque, on en déduit, en choisissant successivement pour ïl chacun des vecteurs de 13, la nullité de chaque colonne de A13(f) - P AtyCf) p-I
ou encore:
Définition
Deux transformations linéaires f et g de JR
3 , de matrices associées A f et A 9 , sont
dites conjuguées s' i 1 existe une transformation 1 inéaire bijective 'P de JR 3 , de matrice
associée Aip, appelée conjugaison, telle que :
fo'f> = lpoq
ce qui, matriciellement, se traduit par :
AJ Ac,o = AcpAg
ou encore, puisque Alf est inversible :
Les matrices A f et Ag sont dites semblables.
2. Déterminant d'une application linéaire de R 3
Proposition
Deux matrices semblables ont même déterminant.
Démonstration : Soient A et B deux matrices semblables, de taille 3 x 3.
D 'après ce qui précède, il existe une matrice inversible P telle que:
p - I AP = B
Il en résulte :
Définition
•
On apelle déterminant d'une transformation linéaire f de JR 3 le déterminant de sa
matrice dans la base canonique, ou, de façon équivalente, dans une base quelconque 13.
La valeur du déterminant d'une transformation linéaire f de R 3 ne dépend effectivement pas
de la base choisie : si :B et :B' sont deux bases de l'espace JR.
3 , les matrices A'B(/) et A'B' (/), qui
représentent donc la même application linéaire dans deux bases différentes, sont semblables,
et ont donc même déterminant.
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