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On dit que f est dominée par g au voisinage de a si il existe une constante positive C
telle que, pour tout réel x dans un voisinage de a
lf(x)I ~ C lg(x)I
On note alors :
f(x) = O (g(x)) ou f = O (g)
.;\-+a
a
O n dit que f est un «grand 0 » de g au voisinage de a.
Exemple
On considère les fonctions f et g défi nies, pour tout réel strictement positif x, par:
2 - .!.
f(x) = 2x x
Alors, comme, pour tout réel x > l :
on a bien : /(x) = O(g(x)).
x-.+.:x>
3. Équivalence
Définition
3
g(x) = 2x
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle 1 de IR, à valeurs dans JR, et a
dans Ï. On suppose que g ne s'annule pas dans un voisinage de a, sans, pour autant,
que g(a) soit non nul.
On dit que f est équivalente à g au voisinage de a si :
f(x) - g(x) = o (g(x))
x~a
On note alors :
f(x) - g(x) ou f ~ g
X~tJ
Cl
Exemple
On considère les fonctions f et g définies, pour tout réel x, par
f(x) = x4 + x3
g(x) = x
4 + x
2
Al
1 . f(x.)
d'd . f
ors, comme 1m - - = 1, on en e mt:. ~ g.
x-++oo g(x)
+oo
Attention aux manipulations successives et hasardeuses d'équivalents!
Pour cette raison, on ne donnera pas, dans ce cours, de résultats généraux ni de « recettes »
pour la manipulation d'équivalents, la meilleure méthode, la plus fiable et la plus sûre, étant de
manipuler des « o » ou des « 0 », suivant les cas et ce qui est le mieux adapté. Mais attention,
on ne peut pas utiliser ceux-ci dans des inégalités!
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