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Notations de Landau
1. Négligeabilité
Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans R, et a
dans Ï.
On suppose que g ne s'annule pas dans un voisinage de a. On dit que f est négligeable
devant g au voisinage de a si
On note alors
lim f(x) = 0
x-ta g(x)
f(x) = o (g(x)) ou f = o (g)
x-+a
t1
On dit que f est un « petit o » de g au voisinage de a.
La notation «petit o » , de même que la notation «grand 0 » , qui sera vue plus loin, est appelée
notation de Landau, en hommage au mathématicien Edmund Landau 1 • Leur paternité est
visiblement assez controversée, et reviendrait, a priori, à Paul Bachmann 2 .
Exemple
On considère les fonctions f et g définies, pour tout réel x, par
f(x) = x2
g(x) = x
4
Alors, comme lim f(x) = lim -;. = 0, on en déduit: f = o(g).
x - ..+oo g(x)
x - ..+oo X
•~
~
Pour traduire le fait qu'une fonction f possède une limite nulle en a, a E R., ou, éventuelle't5 ment, a = +oo ou a = - oo, on écrit aussi :
f(x) = o(l)
.. . . . .
2. Domination
Définition
Soient f et g deux fonctions définies sur un intervaJJe Ide R, à valeurs dans R, et a
dans Ï. On suppose que g ne s'annule pas dans un voisinage de a, sans, pour autant,
que g(a) soit non nul.
l. Edmund Georg Hermann Landau (1877- 1938), mathématicien allemand, spécial iste de théorie des
nombres.
2. Paul Bachmann (1837-1920), mathématicien allemand lui aussi, et également spécialiste de théorie des
nombres.
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