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3. Propriétés
Définition
Une transformation linéaire de R 3 est dite injective si :
Théorème
Une transformation linéaire de R 3 est injective si son noyau est réduit au vecteur nul :
Ker f = {ô}
Démonstration : Ce résultat découle de la linéarité de f .
Définition
Une transformation linéaire de R 3 est dite surjective si :
V Û E R 3 , 3 Û E R 3 : it = f(Û)
4. Automorphisme
Définition
Une transformation linéaire de R 3 est un automorphisme de R 3 si elle est bijective.
>- Théorème du rang dans JR.
3 (ou formule du rang)
Théorème
Dans R 3 :
dimimf + dimKer f = 3
dim I m f est le rang de f, noté aussi rg f.
>- Caractérisation des automorphismes de ~
3
Théorème
Soit f une transformation linéaire de R 3 . Alors:
f injective {::::} f surjective {::::} f bijective
•
Pour qu'une transformation linéaire f de R 3 soit un automorphisme de R 3 , il faut et il
suffit que Je déterm inant de sa matrice A13(.l) dans une base 13 quelconque soit non nul.
Sa réciproque f -
1 est alors une transformation linéaire de R 3 , de matrice dans 13 :
277
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