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Démonstration : Le résultat découle immédiatement de la proposition précédente : une
transformation linéaire de JR 3 est entièrement définie par ses valeurs sur une base donnée .
Définition
On appelle matrice d'une transformation linéaire f de œ.
3 , la matrice de f dans la
base canonique (/, J, k). Elle sera notée, dans ce qui suit, sous la fonne Af :
A f = M atrice

•
Une transformation linéaire de R.
3 étant entièrement définie par la matrice qui lui est associée
dans une base donnée, il est clair qu' il est préférable de se placer dans une base donnant une
expression la plus agréable possible de la matrice: t1iangulaire, ou diagonale. Cela s'appelle
trigonaliser ou diagonaliser une application linéaire (ou une matrice).
> Composée de deux transformations linéaires
Proposition
La composée f o g de deux transformations linéaires f et g de JR 3 , de matrices associées
A'B(f) et AB(g) dans une base 13 = (ê1, ê2. ê3) donnée, est une transformation linéaire de
JR 3 , qui vérifie :
V Û = ( ~) E IR
3
(f o g)(i1) = f (g(Ü)) = A,,(j) (A21(g) i1) = (A21(f) A21(g )) Ü
Ainsi, f o g a pour matrice, dans la base 13 :
> Noyau
Définition
ABC! 0 g) = As(f) As(g)
On apelle noyau d'une transformation linéaire f de JR 3 , que l'on note Ker f (de l'allemand kern) l'ensemble des vecteurs de R.
3 dont J'image par f est Je vecteur nul :
Par extension, le noyau d'une matrice A E M 3 (JR) est le noyau de !'application linéaire
associée à la matrice A.
> Image
Définition
On apelle image d'une transformation linéaire f de JR
3 , que l'on noteim f l'ensemble
des images des vecteurs de JR 3 par f :
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