"O
:<;
0
.,,
<=
c
::;
::::i
'~
Cl
<.>
<.>
"""
~
..-1
-~
0
~
N
<=
0
@
<=
"' 0
....
·a
..c
::1
Ol
~
·;::
Q.
~
>S!
a.
"
0
~
u
-ci
0
<=
::l
0
@
>- Une application linéaire remarquable: l'application identité de l'espace JR. 3
Définition
On appelle application identité de l'espace fü.
3 l'application, notée Jd.,_3 , de matrice
associée h:
Û E JR
3 H Û
>- Domaine de définition
Proposition
Une transformation linéaire de JR 3 est entièrement définie par ses valeurs sur une base
donnée.
Démonstration : Soit f: JR 3 4 JR 3 une transformation linéaire, et 'B = (eî , eî, e3) une
base de JR 3 .
On suppose que les images des vecteurs eî, eî et e3 sont données :
3
Vi E {l, 2, 3} f(ei) = I ajiéj
j=I
3
Alors, pour tout vecteur il = x 1 eî + x2 éi + x3 e3 = I Xi ëj de JR
3 :
i=I
f(il) = 1(t x1ei]
3
= I xif (ei)
i = l
3
3
= I xi I ajie""j
i= I
j = I
3 3
= I I xiajie}
i=l j = I
3
3
= I I xjaijëi
i=I j =I
Ainsi:
D' où le résultat.
Proposition
•
Une transformation linéaire de IR 3 est entièrement définie par la matrice qui lui est associée dans une base donnée.
275
Il\
~
~
u
- n:s
u
n:s
c:
<(