....
..c
Ol
·;::
>0..
0
u
~
u
Transformations linéaires
de l'espace R 3
1. Définitions
Définition
On appelle transformation linéaire de l'espace R
3 , ou encore application linéaire
de l'espace R 3 une application f, de R 3 dans R 3 , linéaire :
V (il, iJ) E R
3 X R
3 , V À E R : f(ïl + ;liJ) = f(ïl') + Àf(iJ)
Pour toute transformation linéaire f de l'espace R. 3 :
/(0) = 0
Exemples
1. L'application :
f : R.
3
---? IR.
3 , (x, y, z) H (x + 1, y - 2, z)
n'est pas linéaire.
2. L'application :
f : JR.
3
---? l!l
3 , (x, y, z) H (3 x, 3 y, 3 z)
est linéaire.
Proposition
Étant donnée une matrice A = (aiJ) .
3
.
3
, de taille 3 x 3, à coefficients réels, l'ap1.;;1.,; ' 1 <;;;<;;
plication :
(
xl (x] (a11x +a12y +a13z l
fÀ : R
3
~ R
3 , y H A y = a21 x + a22 y+ a23 z
z
z
a31 x + a32 y + a33 z
est linéaire, et définit une transformation linéaire de R 3 .
2. Matrice d'une transformation linéaire
Définition
On appelle matrice, dans une base ' 13 = (e1,é2,é3) donnée, d'une transformation
linéaire f de ffi 3 , la matrice dont les vecteurs colonnes sont les coordonnées, dans !B,
des images des vecteurs de !B :
Matrice13(f) = (f(e"j),f(e2),f(e3))
274