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Bases de l'espace R 3
Définition
On appelle base de l'espace lR. 3 toute famille libre de trois vecteurs de lR. 3 .
Exemple
Déterminons si la famille
(J, Y,W) = [ [ _:J H ~1 H :l l l
est une base de R. 3 ; pour cela, il suffit de calculer son déterminant :
det (i1, ü, w) = - 4 * 0
(i1, iJ, w) est bien une base de R. 3 .
Définition
•
î!D3
f
-+ -t -+
On appelle base canomque de l'espace J.fü. la amilJe (i, .J, k), avec:
Proposition
Soit 'B = (ê1, ê2, ê3) une base de JR. 3 .
Pour tout vecteur ü de JR. 3 , il existe une unique combi naison linéaire des vecteurs de :B
, l ' -+
ega eau:
que l'on note aussi :
x1 E JR., x2 E lR. et x3 E lR. sont les coordonnées (ou composantes) du vecteur a dans la
base 'B.
La décomposition d'un vecteur suivant une base donnée est ainsi unique .
Les composantes d' un vecteur (x, y, z) de JR. 3 dans la base canonique (i, j, k) seront
notées :
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Déterminons si la famille
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est une base de R. 3 ; pour cela, il suffit de calculer son déterminant :
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Définition
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Proposition
Soit 'B = (ê1, ê2, ê3) une base de JR. 3 .
Pour tout vecteur ü de JR. 3 , il existe une unique combi naison linéaire des vecteurs de :B
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