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On vé1ifie aisément que le déterminant d' une matrice de rotation vaut + 1.
Proposition
Tout élément de S 0(R
2 ) est une rotation (de R
2 ).
Démonstration: D'après ce qui précède, il est clair que toute rotation de R 2 est dans
SO(R
2 ) .
Réciproquement, soit f un élément de SO(R
2 ), de matrice dans la base canonique AI.
A f est de la forme :
A ·= (ab)
j
cd
(a,b,c,d) E R
4
f étant dans O(JR.
2 ) :
soit:
ce qui conduit à :
(
a
2
+ c
2
a b + cd l = ( 1 o )
ab + cd b 2 + d 2
0 1
{
a
2 + c
2
= 1
ab +c d =O
b
2 + d2 = 1
Il existe donc deux réels cp et t/J tels que
La condition :
conduit à:
soit:
Il en résulte :
ou encore:
Par suite:
{
a = coscp
c = smcp
{
b = cos t/I
d = sin t/J
ab+cd = O
cos cp cos t/J + si n cp sin tft = 0
cos(t/; - cp) = 0
'lT
t/J - cp = - [n]
2
{
b = cos t/J = cos ( cp + ~ + k n) = (- 1i+
1 sin cp
d = sin tft = sin ( cp + ~ + k n) = ( - 1 )k cos 'P
271
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