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Rotations vectorielles du plan
1. Définition
Soient() un réel, n un point donné, et ü un vecteur de JR.2.
- t
Soient M le point tel que QM = il, et M' l' image de M par la rotation de centre n,
d'angle 8.
On considère l'application :
C'est une appl ication linéaire.
Re : IR2 __, IR2
- t
~
0.M H QM'
L'image par Re d'un vecteur quelconque ü de IR 2 est ainsi Je vecteur v 1 tel que:
{
~v
1
~ = llVll
(v,v') = () [2rr]
Re est une rotation vectorielle, à distinguer des rotations affines vues au chapitre 1. Le
point n peut être choisi absolument quelconque. À Ja différence d'une rotation affine,
une rotation vectorielle de R
2 n'est ainsi définie que par son angle. On parlera, dans ce
qui suit, de rotation pour désigner une telle application.
2. Propriétés
Proposition
La matrice d'une rotation de R 2 , d'angle(), dans une base orthonormale di.recte, est de la
forme:
(
cos (} - sin (} )
sin() cos()
Démonstration : Pour tout vecteur il = (;) de R
2 :
Ro(Ü) = cos 8 ü + sin Bal.
où ill. désigne le vecteur directement orthogonal à il, et de même norme que il :
Ainsi:
Re(Ü) = cos B (;) +sin() ( -:)
D' où le résultat.
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